【考研数学】线性代数第五章 —— 特征值和特征向量（2，特征值与特征向量的性质）

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引言

承接前文，了解了一些基本概念后，我们来继续学习有关特征值和特征向量的内容。

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二、特征值与特征向量的性质

2.1 一般性质

定理 1 —— 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 为 $A$ 的特征值，则有：

（1）${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=tr(A);$

（2）${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|A|.$

若 $A$ 可逆，则 $|A|\ne 0$ ，可知 $A$ 的特征值均不为 0 。

定理 2 —— 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，${\lambda }_0$ 为 $A$ 的 $k$ 阶特征值，则

（1）若 $k=1$ ，即 ${\lambda }_0$ 为单特征值，则属于特征值 ${\lambda }_0$ 的线性无关的特征向量只有一个。

（2）若 $k>1$ ，则属于特征值 ${\lambda }_0$ 的线性无关的特征向量个数不超过 $k$ 个。

言下之意就是说，一个特征值对应多个特征向量，这些特征向量有些相关，有些无关。
实际上，一个特征值对应于无数个特征向量。

定理 3 —— 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $A\alpha ={\lambda }_0\alpha$ （$\alpha$ 为非零向量），$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ ，令 $f(A)=a_n{A}^n+\cdots +a_{1}A+a_{0}E$ ，则

（1）若 $A$ 可逆，则有 $A^{-1}\alpha =\frac{1}{{\lambda }_0}\alpha$ ，即 $1/{\lambda }_0$ 为 $A^{-1}$ 的特征值，$\alpha$ 为 $A^{-1}$ 的特征向量；

（2）若 $A$ 可逆，则有 $A^{\ast }\alpha =\frac{|A|}{{\lambda }_0}\alpha$ ，即 $|A|/{\lambda }_0$ 为 $A^{\ast }$ 的特征值，$\alpha$ 为 $A^{\ast }$ 的特征向量；

（3）$f(A)\alpha =f({\lambda }_0)\alpha$ ，即 $f({\lambda }_0)$ 为 $f(A)$ 的特征值，$\alpha$ 为 $f(A)$ 的特征向量。

定理 4 —— 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 的不同特征值对应的特征向量线性无关。

证明： 设 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 为 $A$ 的两个不同特征值，${\lambda }_1$ 对应的线性无关的特征向量为 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_r$ ，${\lambda }_2$ 对应的线性无关的特征向量为 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_s$ ，令 $$k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_r{\xi }_r+l_1{\eta }_1+l_2{\eta }_2+\cdots +l_s{\eta }_s=0\text{\hspace{1em}(1)}$$ 由 $A{\xi }_1={\lambda }_1{\xi }_1,A{\xi }_2={\lambda }_1{\xi }_2,\cdots ,A{\xi }_r={\lambda }_1{\xi }_r,A{\eta }_1={\lambda }_2{\eta }_1,A{\eta }_2={\lambda }_2{\eta }_2,\cdots ,A{\eta }_s={\lambda }_2{\eta }_s$ ，将 (1) 两边左乘 $A$ 得 $${\lambda }_1(k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_r{\xi }_r)+{\lambda }_2(l_1{\eta }_1+l_2{\eta }_2+\cdots +l_s{\eta }_s)=0\text{\hspace{1em}(2)}$$ (2) - (1)$\times {\lambda }_2$ 得 $({\lambda }_1-{\lambda }_2)(k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_r{\xi }_r)=0$ ，由 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 可得 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_r{\xi }_r=0$ ，由线性无关可得 $k_1=k_2=\cdots =k_r=0$ ，同理， $l_1=l_2=\cdots =l_s=0$ ，故 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_r,{\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_s$ 线性无关。

定理 5 —— 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可相似对角化（或与对角矩阵相似）的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

定理 6 —— 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 为 $A$ 的两个不相等的特征值，有 $A\alpha ={\lambda }_1\alpha ,A\beta ={\lambda }_2\beta$ （$\alpha ,\beta$ 为非零向量）。对任意的 $a\ne 0,b\ne 0$ ，向量 $a\alpha +b\beta$ 一定不是 $A$ 的特征向量。

证明：（反证法）不妨设 $a\alpha +b\beta$ 为特征向量，即有 $A(a\alpha +b\beta )={\lambda }_0(a\alpha +b\beta )$ ，化简可得 $a({\lambda }_1-{\lambda }_0)\alpha +b({\lambda }_2-{\lambda }_0)\beta =0$ ，由定理 5 ，$\alpha ,\beta$ 线性无关，又是有 $$\{\begin{array}{l}a({\lambda }_1-{\lambda }_0)=0\\ a({\lambda }_2-{\lambda }_0)=0\end{array}$$ 从而有 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_0$ ，与已知矛盾，故原命题成立。

2.2 实对称矩阵特征值与特征向量的性质

根据百度百科，实对称矩阵定义为：元素均为实数且转置等于本身的矩阵。

定理 1 —— 设 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 的特征值均为实数。

证明共轭和本身相等即可证明为实数。

定理 2 —— 设 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 的不同特征值对应的特征向量正交。

证明： 设 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ 为 $A$ 的两个不同特征值，其对应的特征向量分别为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ ，由 $A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1$ 两边转置得 ${\alpha }_1^T{A}^T={\lambda }_1{\alpha }_1^T$ ，由实对称矩阵，可得 ${\alpha }_1^{T}A={\lambda }_1{\alpha }_1^T$ ，两边右乘 ${\alpha }_2$ ，得 ${\alpha }_1^{T}A{\alpha }_2={\lambda }_1{\alpha }_1^T{\alpha }_2$ ，由 $A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2$ 可得 ${\lambda }_2{\alpha }_1^T{\alpha }_2={\lambda }_1{\alpha }_1^T{\alpha }_2$ ，从而有 $({\lambda }_2-{\lambda }_1){\alpha }_1^T{\alpha }_2=0$ ，即 ${\alpha }_1^T{\alpha }_2=0$ ，故原命题得证。

定理 3 —— 设 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 一定可以相似对角化。特别地，存在正交矩阵 $Q$ ，使得 Q T A Q = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{Q}^T\pmb{AQ}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}, QTAQ= ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​ ​, 其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 为矩阵 $A$ 的特征值。

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写在最后

性质蛮多的，让我想起了当初学矩阵的秩的性质的时候，不过耐心看下来，各条性质之间都或多或少有关联。下一篇文章我们来看看关于矩阵的对角化理论。