数据结构——图(图的存储及基本操作)

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前言

1. 邻接矩阵法(图的顺序存储结构)
   1.1 无向图邻接矩阵算法
   1.2 有向图邻接矩阵算法
2. 邻接表法(图的一种链式存储结构)

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一、邻接矩阵法（顺序存储）

1. 定义：用一个一维数组存储顶点，一个二维数组存储边的信息（各顶点之间邻接关系），n个顶点是n×n的矩阵，若(vi,vj)属于E ，则A[i][j]=1，否则等于0；对于带权图，则邻接矩阵中对应项存放着该边对应的权值，若顶点vi和vj不相连，则用∞来表示这两个顶点之间不存在边【是表示顶点之间相邻关系的矩阵。所谓两顶点的相邻关系即它们之间有边相连。】
2. 注意
   ①无向图的邻接矩阵是对称矩阵，对规模特大的邻接矩阵可采用压缩存储
   ②邻接矩阵表示法的空间复杂的为O(n^2)，其中n为图的定点数|V|
3. 图的邻接矩阵存储表示法具有以下特点：
   1)无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵（并且唯一），因此，在实际存储邻接矩阵时只需存储上（或下）三角矩阵的元素即可
   
   
   2)对于无向图，邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素（或非无穷元素）的个数正好是第i个顶点的度TD(vi)
   3)对于有向图，邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素（或非无穷元素）的个数正好是第i个顶点的出度OD(vi)(或入度ID(vi))，第i行和第i列和是有向图第i结点的度
   (有向图：行出度，竖入度)
   4)用邻接矩阵存储图，很容易确定图中任意两个顶点时间是否有边相连。但是，要确定图中有多少边，则必须按行、按列对每个元素进行检测，所花费的时间代价很大。这是用邻接矩阵存储图的局限性
   5)稠密图适合使用邻接矩阵的存储表示
   
   
4. 无向图的邻接矩阵是对称的，如果A[i，j]=1，必有A[j，i]=1。这说明，只输入和存储其上三角阵元素即可得到整个邻接矩阵。
5. 一般有向图的邻接矩阵是不对称的，A[i，j]不一定等于A[j，i]。
6. 邻接矩阵用二维数组即可存储，定义如下：
   int adjmatrix = ARRAY[n][n];
7. 如果图的各边是带权的，只需将矩阵中的各个1元素换成相应边的权即可。
   
8. 对于无向图而言：顶点Vi的度是邻接矩阵中第i行(或列)的元素之和。
9. 对于有向图而言：
   顶点Vi的出度是邻接矩阵中第i行的元素之和。
   顶点Vi的入度是邻接矩阵中第i列的元素之和

1.无向图存储邻接矩阵算法

int creatgraph (int adjarray[ ][ ])
{
        int i,j,v1,v2,num;
        scanf (“%d”,&num);   /*输入顶点数*/
        if (num>0)
       {
            for (i=1;i<=num;i++)
                 for (j=1;j<=num;j++)
                       adjarry [i][j]=0;   /*矩阵初始化*/
do{
               scanf (“%d,%d”,&v1,&v2); /*输入边*/
                 adjarray[v1][v2]=1;
                 adjarray[v2][v1]=1;
            } while(v1!=0 && v2!=0);
       }
       else  
            num=0;
       return num;
 }
            

2.有向图存储邻接矩阵算法

int creatgraph (int adjarray[ ][ ])
{
        int i,j,v1,v2,num;
        scanf (“%d”,&num);   /*输入顶点数*/
        if (num>0)
       {
            for (i=1;i<=num;i++)
                 for (j=1;j<=num;j++)
                       adjarry [i][j]=0;   /*矩阵初始化*/
do{
               scanf (“%d,%d”,&v1,&v2); /*输入边*/
                 adjarray[v1][v2]=1;
            } while(v1!=0 && v2!=0);
       }
       else  
            num=0;
       return num;
 }
            

二、邻接表法(图的链式存储结构)

1.定义：对图G中每个顶点建立一个单链表，第i个单链表结点表示依附于顶点vi的边（有向图是以顶点vi为尾的弧）




2. 邻接表特点

（1）如果G为无向图，则所需存数空间为O(|V|+2|E|)，若为有向图，则需O(|V+|E|)
（2）邻接表中给定一顶点，能够很容易找到所有邻边，而邻接矩阵中需要扫描一行，时间为O(n)；但是若要确定两个顶点间是否存在边，则在邻接矩阵里可以立即查找，而在邻接表需要对相应结点的边表里查找另一结点，效率较低
（3）有向图邻接表中，求一个给定顶点的出度只需计算其邻接表结点个数，但要求入度，需遍历整表，也可用逆邻接表
（4）无向图设存储顶点的一维数组大小为m(m>=图的顶点数n),
图的边数为e，G占用存储空间为：m+2*e。(有向图)G占用存储空间与G的顶点数、边数均有关；适用于边稀疏的图
（5）有向图中
顶点Vi的出度为第i个单链表中的结点个数
顶点Vi的入度为整个单链表中邻接点域值是i的结点个数
判定两顶点v,u是否邻接：要看v对应线性链表中有无对应的结点u

总结

1. 邻接矩阵法(图的顺序存储结构)
   1.1 无向图邻接矩阵算法
   1.2 有向图邻接矩阵算法
2. 邻接表法(图的一种链式存储结构)