差分方程模型:蛛网模型

在完全竞争的市场经济中,一个时期某种消费品如猪肉的上市量远远大于需求量,由于销售不畅导致价格下降,生产者发现养猪赔钱,于是转而经营其它农副产品。过一段时间猪肉上市量就会下降,此时供不应求导致价格上涨,生产者看到有利可图,又转回来大规模养猪,这一样以来,下一个时期猪肉又会供大于求,价格下降,如果没有外界干预,这种市场现象将会循环往复。

【模型假设】

 (1)某个时段商品的价格取决于商品的供给量;

(2)下一个时段商品的供给量取决于上一个时段商品的价格;

(3)常规商品,需求函数是减函数;供给函数是增函数。

 【符号设置】

k  :时段,也是商品的生产和消费周期,k=1,2,…;

xk :第k时段商品的数量,k=1,2,…; 

 yk  :第k时段商品的价格,k=1,2,…;

 【建立模型】

在第k时段,根据假设(1),有 

称为需求函数,供给商品越多,价格越低,yk为xk的减函数。 

在第k+1时段,根据假设(2),有【15】

 这里h,g互为反函数,表示供给函数,为增函数。

即该种商品的供给与价格模型为

 差分方程模型:蛛网模型_第1张图片【16】

【模型分析】 

1、平稳与非平稳现象分析

以供给量为横坐标,价格为纵坐标,在同一坐标系里绘制需求函数和供给函数,如图1和图2.

差分方程模型:蛛网模型_第2张图片 其中平衡点p0(x0,y0)由方程组差分方程模型:蛛网模型_第3张图片求得

差分方程模型:蛛网模型_第4张图片

 随着时段k的增加,xk,yk都不断震荡变化,p1,p2,…,pk并不收敛与p0.

即产品的市场价格和供给量将大起大落,不利于民生。

图1和图2的曲线分析市场稳定性的模型称为蛛网模型。其中f取决于消费者对该商品的需求程度和消费水平,g取决于生产者的生产能力、经营水平等。消费水水平增加时,曲线f向上移动;生产能力提高时,g向右移动。

 2、平稳条件分析

通过调查资料一旦确定了需求函数和供给函数,商品数量和价格是否稳定,就完全由这两条曲线在平衡点p0附近的形状确定。

在平衡点p0附近,f和g都可以用直线来近似为差分方程模型:蛛网模型_第5张图片【17】

在方程组【17】中消去yk,可得差分方程

【18】

【18】是一阶线性常系数差分方程,得到其特解为【19】

当k→+∞时,xk→x0(p0稳定)的充分必要条件是【20】

 3、模型参数解释

差分方程模型:蛛网模型_第6张图片 【17】

α表示商品供应每减少一个单位时价格上涨的幅度;β表示价格每上涨一个单位时,商品供应的增加量。α反应消费者对商品的需求敏感程度,β反应生产经营者对商品价格的敏感程度。当β固定时,α越小,需求曲线越平缓,市场越容易稳定;当α固定时,β越小,即供给曲线越陡,表明生产者对价格敏感程度越小,市场也容易趋于稳定。当α、β都较大时,表明消费者对商品过度敏感,生产者过度依赖价格,经济不稳定。

4、模型应用

当市场经济趋于不稳定时,政府有两种干预办法:

  1.  使得α尽量小,不妨考察极端情况,令α=0,即需求曲线水平,无论供应曲线如何,【20】条件总是成立,即市场总是平稳的。这种办法就是政府管控物价,无论商品数量多少,命令价格不得改变。
  2.  使得β尽量小,极端情况是β=0,即供应曲线竖直,于是无论需求曲线如何,也总是稳定的。实际上这相当于控制市场的商品数量,当供给量小于需求量时,从外地收购或调拨,投入市场;当供过于求时,收购剩余的部分,维持商场商品量不变。这种办法要求政府具有相当的经济实力。

5、模型推广

如果生产管理者素质更高一些,在决定商品产量xk+1时,不仅考虑yk,还考虑yk-1,【15】变为

在线性化时,【17】的第二个方程变为

再带入【17】方程组得到二阶线性常系数差分方程,也可以得到稳定性条件为【21】

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