C++中高精度运算总结
目录
一.产生原因
二.不同方法介绍
三.模拟过程（核心代码）
1.加法（进位）
2.减法（借位）
3.乘法（高精度a*低精度b）
4.除法（高精度a÷低精度b）
四.完整代码
1.加法
2.减法
3.乘法
4.除法
一.产生原因
首先明确为什么有高精度运算即大数的运算。由于C++中最大的long long也只能存到2^63-1=9223372036854775807（19位数），但当数字长度接近10^5甚至更长时就没办法用long long储存了，所以不能直接对变量进行加减，因此有了高精度算法，最近我刚学，怕忘就总结了一下，仅供参考，如有错误还请指正。
对了：题目指路
加法：https://www.acwing.com/problem/content/793/
减法：https://www.acwing.com/problem/content/794/
乘法：https://www.acwing.com/problem/content/795/
除法：https://www.acwing.com/problem/content/796/
二.不同方法介绍
高精度算法一般有两种形式，①数组模拟 ②用STL中的vector容器 。
①：将字符串string中的每一位转化为int数组中的数；
②：用vector中
的函数push_back(); pop_back(); back(); front(); begin(); 进行操作；
两者的模拟加法的大致思想是一样的，但STL容器可以在空间上随用随申请，而数组只能提前申请（a[100010]）固定空间。
三.模拟过程（核心代码）
1.加法（进位）
这个是平时咱们计算的过程（红1表示进位）而写程序时咱们需要找到一个循环起来的方法，于是继续思考我们为什么会知道进位以及进多少
上图为直接对每一位相加之后的结果，从最低位（个位）看起，就可以发现8=18%10,9=（18+1）%10，1=（0+1）%10。这样就找到规律了：
每一位上的数字=（进位+加数上同位两数字的和）%10
进位=（进位+加数上同位两数字的和）/10
注：这里是默认的a的长度>b的长度！
（数组模拟，rr[]为结果）
for(int i=0; i=10) rr[i+1]++,rr[i]-=10;
}
if(rr[len]) len++;//这里处理a+b后最高位的进位问题 注：这里一定要分两个for来加和判断，要不然循环第二次进行时会覆盖++，进位就没有用到！
等等，写到这里我突然意识到只要把res那改成+=就可以了！妙蛙！
for(int i=0; i=10) rr[i+1]++,rr[i]-=10;
} （vector）
for(int i=0; i2.减法（借位）
从结果上来看a-b可能是正数可能是负数，负数时加上符号变成b-a即可，这里不再赘述。
比较简单的情况是被减数的每一位都恰好比减数的每一位大，这里就不列举了；
比较复杂的就是下图这样有借位的情况：
还是和加法一样先对每一位做减法（红字），然后从低位（个位）开始考虑借位变成下图（蓝字）
就可以找到规律：
每一位上的数字=同位减法，判断是否<0，小于则下一位（高位）--，本位+=10
Or:
每位数字=（同位减法+10-标记）%10，如果减法<0则标记1，否则标记0
（这个标记是在下一位（高位）时才开始起作用，模拟借位的过程，先判断有没有被借过位）
注：这里默认a>b！
（数组）
for(int i=0; i有了加法的启示这里也可以改良一下
for(int i=0; i（vector）
for(int i=0; i3.乘法（高精度a*低精度b）
数组模拟法的难点在于一个公式的理解：
res[i+j]=a[i]*b[j]
这里我想了一个神奇的例子，希望可以帮助理解：
结果中res[7]=6，乘数中a[2]=2，b[5]=3，从这里我们可以看出res[2+5]=a[2]*b[5]，规律立现！
容器法就相对简单一点，直接暴力每一位都乘一遍b，取模作为这一位上的结果，其实和加法类似。
每一位数字=(a[i]*b+jw)%10；
进位+=(a[i]*b+jw)/10;
（数组）
for(int i=0; i（vector）
vec mul(vec &a,int b)
{
vec res;
int t=0;
for(int i=0; i4.除法（高精度a÷低精度b）
首先1/31=0,
（1*10+2）/31=0，（（1*10+2）*10+0）/31=3 ，得到余数27，模拟完过程就可以找到规律了！
每位数字=（上一位的余数*10+本位）/除数
余数=（上一位的余数*10+本位）-除数*结果位数字
由于除法的力量过于玄学，此处就只放vector版本了。
r=0;//余数要有初始值0
for(int i=a.size()-1; i>=0; i--)//从高位除起，所以后续不需要reverse
{
r=r*10+a[i];
res.push_back(r/b);
r%=b;
}四.完整代码
篇幅有限，我就不介绍一些细节比如去除前导0了，我会在代码中注释一下。
1.加法
#include
#include
#define N 10010
using namespace std;
char a[N],b[N],res[N];
int aa[N],bb[N],rr[N];
int lena,lenb;
int main()
{
scanf("%s",a);
scanf("%s",b);
int lena=strlen(a),lenb=strlen(b);
int len=max(lena,lenb);
for(int i=0; i=10) rr[i+1]++,rr[i]-=10;
}
if(rr[len]) len++;//多进一位的情况，比如99+1=100
for(int i=len-1; i>=0; i--) printf("%d",rr[i]);
} 2.减法
#include
#include
#define N 10010
using namespace std;
char a[N],b[N];
int aa[N],bb[N],rr[N];
int lena,lenb;
bool flag=true;
int cmp()//a>b->1 a-1 a==b->0
{
lena=strlen(a);
lenb=strlen(b);
if(lena>lenb) return 1;
else if(lenaa-b
for(int i=0; i=0; i--) printf("%d",rr[i]);
} 3.乘法
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef vector vec;
vec mul(vec &a,int b)
{
vec res;
int t=0;
for(int i=0; i1 && res.back()==0) res.pop_back();//去除前导0（现在还在0最后面）
reverse(res.begin(),res.end());
return res;
}
int main()
{
string a;
int b;
vec aa,rr;
cin>>a>>b;
for(int i=a.size()-1; i>=0; i--) aa.push_back(a[i]-'0');
rr=mul(aa,b);
for(int i=0; i 4.除法
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef vector vec;
int r;
vec div(vec &a,int b)
{
vec res;
r=0;
for(int i=a.size()-1; i>=0; i--)//从高位除起，所以后续不需要reverse
{
r=r*10+a[i];
res.push_back(r/b);
r%=b;
}
while(res.size()>1 && res.front()==0) res.erase(res.begin());//delete 0
return res;
}
int main()
{
string a;
int b;
vec aa,rr;
cin>>a>>b;
for(int i=a.size()-1; i>=0; i--) aa.push_back(a[i]-'0');
rr=div(aa,b);
for(int i=0; i