【Atcoder】 [ARC141D] Non-divisible Set

题目链接

Atcoder方向
Luogu方向

题目解法

神仙题！
考虑到 $a_i<2m$ 的奇怪限制，可以得到对于 $k\ast 2^i(k$ 为奇数$)$ 的形式的所有数中，只能选出 $1$ 个，且必须选出一个，因为 $1-2m$ 的奇数只有 $m$ 个
考虑满足条件的形式是什么，即对于 $k_1\ast 2^i,k_2\ast 2^j$，不存在 $i<j$ 且 $k1<k2$
这启发我们对每个 $i$ 算出符合条件 $k$ 的区间范围 $L_k,R_k$（确实有数的出现的范围）
具体如何求解 $L_k,R_k$？这里以 $L_k$ 举例，只要从大到小枚举 $k$，然后 $L_k=\max \{L_d+1\}(k|d)$
然后把 $a_i$ 查封成 $k\ast 2^i$ 的形式，易知当 $L[i]\le k\le R[i]$ 的时候是有解的，否则无解（还有一些无解条件是不能得到所有的奇数 $k$ 或者 $L_k>R_k$）
时间复杂度 $O(n\ln n)$

#include 
using namespace std;
const int N=1000100;
int n,m,a[N],L[N],R[N];
bool vis[N];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
int find(int x){
    for(int i=0,bs=1;;i++,bs<<=1) if(bs>x) return i-1;
}
int ed(){
    for(int i=1;i<=n;i++) puts("No");
    exit(0);
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),vis[a[i]]=1;
	for(int i=1;i<=m<<1;i+=2){
		bool flg=0;
		for(int j=i;j<=m<<1;j<<=1) if(vis[j]){ flg=1;break;}
		if(!flg) ed();
	}
	for(int i=1;i<=m<<1;i+=2) R[i]=find((m<<1)/i);
	for(int i=1;i<=m<<1;i+=2){
        while(R[i]>=0&&!vis[i<<R[i]]) R[i]--;
		for(int j=3*i;j<=m<<1;j+=i<<1) R[j]=min(R[j],R[i]-1);
    }
	for(int i=(m<<1)-1;i>=1;i-=2){
		for(int j=3*i;j<=m<<1;j+=i<<1) L[i]=max(L[i],L[j]+1);
        while((i<<L[i])<=(m<<1)&&!vis[i<<L[i]]) L[i]++;
    }
    for(int i=1;i<=m<<1;i+=2) if(L[i]>R[i]) ed();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int k=0;
		while(~a[i]&1) a[i]>>=1,k++;
		if(L[a[i]]<=k&&k<=R[a[i]]) puts("Yes");
		else puts("No");
	}
	fprintf(stderr,"%d ms\n",int(1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC));
	return 0;
}