graph cut算法

注:本文内容主要参考图像分割之（二）Graph Cut（图割）和Graph Cuts 图分割学习

Graph cuts是一种十分有用和流行的能量优化算法，在图像处理领域普遍应用于前后背景分割（Image segmentation）、立体视觉（stereo vision）、抠图（Image matting）等，目前在医学图像领域应用较多。

此类方法把图像分割问题与图的最小割（min cut）问题相关联。首先用一个无向图G=<表示要分割的图像>，V和E分别是顶点（vertex）和变（edge）的集合。此处的Graph和普通的Graph稍有不同。普通的图由顶点和边构成，如果边的有方向的，这样的图被则称为有向图，否则为无向图，且边是有权值的，不同的边可以有不同的权值，分别代表不同的物理意义。而Graph Cuts图是在普通图的基础上多了2个顶点，这2个顶点分别用符号”S”和”T”表示，统称为终端顶点。其它所有的顶点都必须和这2个顶点相连形成边集合中的一部分。所以Graph Cuts中有两种顶点，也有两种边，见文章第一个图。

第一种顶点和边：第一种普通顶点对应于图像中的每个像素。每两个邻域顶点（对应于图像中每两个邻域像素）的连接就是一条边。这种边也叫n-links。

第二种顶点和边：除图像像素外，还有另外两个终端顶点，叫S（source：源点，取源头之意）和T（sink：汇点，取汇聚之意）。每个普通顶点和这2个终端顶点之间都有连接，组成第二种边。这种边也叫t-links。

每条边都有一个非负的权值W_e，也可以理解为cost（代价或者费用）。一个cut（割）就是图中边集合E的一个子集C，那这个割的cost（表示为|C|）就是边子集C的所有边的权值的总和。

Graph Cuts中的Cuts是指这样一个边的集合，很显然这些边集合包括了上面2种边，该集合中所有边的断开会导致残留”S”和”T”图的分开，所以就称为“割”。如果一个割，它的边的所有权值之和最小，那么这个就称为最小割，也就是图割的结果。而福特-富克森定理表明，网路的最大流max flow与最小割min cut相等(证明可参见最大流与最小割)。所以由Boykov和Kolmogorov发明的max-flow/min-cut算法就可以用来获得s-t图的最小割。这个最小割把图的顶点划分为两个不相交的子集S和T，其中s ∈S，t∈ T和S∪T=V 。这两个子集就对应于图像的前景像素集和背景像素集，那就相当于完成了图像分割。

也就是说图中边的权值就决定了最后的分割结果，那么这些边的权值怎么确定呢？

图像分割可以看成pixel labeling（像素标记）问题，目标（s-node）的label设为1，背景（t-node）的label设为0，这个过程可以通过最小化图割来最小化能量函数得到。那很明显，发生在目标和背景的边界处的cut就是我们想要的（相当于把图像中背景和目标连接的地方割开，那就相当于把其分割了）。同时，这时候能量也应该是最小的。假设整幅图像的标签label（每个像素的label）为L= {l1,l2,,,, lp }，其中li为0（背景）或者1（目标）。那假设图像的分割为L时，图像的能量可以表示为：

E(L) = aR(L) + B(L)

其中，R(L)为区域项（regional term），B(L)为边界平滑项（boundary term），而a就是区域项和边界项之间的重要因子，决定它们对能量的影响大小。如果a为0，那么就只考虑边界因素，不考虑区域因素。E(L)表示的是权值，即损失函数，也叫能量函数，图割的目标就是优化能量函数使其值达到最小。

区域项用来衡量某个像素与某个label（背景或目标）之间连接边的权重，越低越该切割：

其中Rp(lp)表示为像素p分配标签lp的惩罚，Rp(lp)能量项的权值可以通过比较像素p的灰度和给定的目标和前景的灰度直方图来获得，换句话说就是像素p属于标签lp的概率，我希望像素p分配为其概率最大的标签lp，这时候我们希望能量最小，所以一般取概率的负对数值，故t-link的权值如下：

Rp(1) = -ln Pr(Ip|’obj’)； Rp(0) = -ln Pr(Ip|’bkg’)
注：Rp 和 Ip 中的 p 是下标，表示某个具体的像素。

由上面两个公式可以看到，当像素p的灰度值属于目标的概率Pr(Ip|’obj’)大于背景Pr(Ip|’bkg’)，那么Rp(1)就小于Rp(0)，也就是说当像素p更有可能属于目标时，将p归类为目标就会使能量R(L)小。那么，如果全部的像素都被正确划分为目标或者背景，那么这时候能量就是最小的。

注：这里可以借助熵来进行理解。

边界平滑项用来衡量两个相邻像素点之间的距离，这个项主要用来寻找边缘点：

其中，p和q为邻域像素，边界平滑项主要体现分割L的边界属性，B可以解析为像素p和q之间不连续的惩罚，一般来说如果p和q越相似（则它们的灰度值或其他度量值 Ip-Iq 越小），那么B越大，权值E也就越大，越不应该被切割；如果他们非常不同，那么B就接近于0，则E越小，越应该被切割。换句话说，如果两邻域像素差别很小，那么它属于同一个目标或者同一背景的可能性就很大，如果他们的差别很大，那说明这两个像素很有可能处于目标和背景的边缘部分，则被分割开的可能性比较大，所以当两邻域像素差别越大，B越小，即能量越小，越应该被切割。

边界项的第二项 δ(lp, lq) = 1/(dist(p, q) 一般表示两个像素的距离，一般都只考虑周围的8个像素，因此相邻像素距离为1。距离越大，能量越小，越该切割。

权值：

好了，现在我们来总结一下：我们目标是将一幅图像分为目标和背景两个不相交的部分，我们运用图分割技术来实现。首先，图由顶点和边来组成，边有权值。那我们需要构建一个图，这个图有两类顶点，两类边和两类权值。普通顶点由图像每个像素组成，然后每两个邻域像素之间存在一条边，它的权值由上面说的“边界平滑能量项”来决定。还有两个终端顶点s（目标）和t（背景），每个普通顶点和s都存在连接，也就是边，边的权值由“区域能量项”Rp(1)来决定，每个普通顶点和t连接的边的权值由“区域能量项”Rp(0)来决定。这样所有边的权值就可以确定了，也就是图就确定了。这时候，就可以通过min cut算法来找到最小的割，这个min cut就是权值和最小的边的集合，这些边的断开恰好可以使目标和背景被分割开，也就是min cut对应于能量的最小化。而min cut和图的max flow是等效的，故可以通过max flow算法来找到s-t图的min cut。目前的算法主要有：

（1) Goldberg-Tarjan
（2) Ford-Fulkerson
（3) 上诉两种方法的改进算法

需要注意的是，graphcut算法需要提前指定两个顶点（就是人为的指定分别属于目标和背景的两个像素点），然后我们建立一个图，图中边的粗细表示对应权值的大小，然后找到权值和最小的边的组合，也就是（c）中的cut，即完成了图像分割的功能。