简单线性回归R和Python预测身高体重国内生产总值二氧化碳排放量

R简单线性回归

简单线性回归

简单线性回归是一种统计技术，用于显示一个因变量和一个自变量之间的关系。 因变量表示为 Y，而自变量表示为 X。变量 X 和 Y 线性相关。 简单线性回归可用于： (a) 描述一个变量对另一个变量的线性相关性； (b) 根据另一个变量的值预测一个变量； © 修正一个变量对另一个变量的线性相关性。

简单线性回归模型的形式为：

$$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{\epsilon }_i$$

其中 ${\beta }_0$ 和 ${\beta }_1$ 是 $X$ 的截距和回归系数，$ϵ$ 是误差项。

上述中回归系数的解可以使用最小二乘法得出：

$$e_i=Y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{X}_i$$

要找到残差平方和的最小和（最小二乘线上留下的位），请将下面的总和设置为零：

$$\sum _{i=1}^n{\left(e_i\right)}^2=\sum _{i=1}^n{\left(Y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{X}_i\right)}^2=0$$

上述，对 ${\beta }_1$ 的偏导数：

$$\frac{\delta }{\delta {\beta }_0}\sum _{i=1}^n{\left(Y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{X}_i\right)}^2=-2\left(n{\beta }_0+{\beta }_1\sum _{i=1}^n{X}_i-\sum _{i=1}^n{Y}_i\right)=0$$

将上述除以 2，求解 ${\beta }_0$，得到

$${\beta }_0=\bar{Y}-{\beta }_1\bar{X}$$

现在，

$$\frac{\delta }{\delta {\beta }_1}\sum _{i=1}^n{\left(Y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{X}_i\right)}^2=-2\sum _{i=1}^n\left(X_i{Y}_i-{\beta }_0{X}_i-{\beta }_1{X}_i^2\right)=0$$

因此，

$${\beta }_1=\frac{{\sum }_{i=1}^n\left(X_i{Y}_i-X_i\bar{Y}\right)}{{\sum }_{i=1}^n\left(X_i^2-X_i\bar{X}\right)}=\frac{{\sum }_{i=1}^n\left(X_i{Y}_i\right)-n\bar{X}\bar{Y}}{{\sum }_{i=1}^n\left(X_i^2\right)-n{\bar{X}}^2}=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\mathrm{var}(X)}$$

其中 $\mathrm{cov}(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差——衡量 $X$ 如何随 $Y$ 变化的量度。

示例1：预测体重

问题：在一堂统计课上，测量了 30 名学生的体重和身高，如下表所示。

$$\begin{array}{lrrrrrrrrr}\text{ Student }& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \text{ Height (m) }& 1.43& 1.10& 1.24& 1.36& 2.26& 1.25& 1.74& 1.55& 1.51\\ \text{ Weight (kg) }& 92.18& 77.76& 65.44& 114.19& 82.81& 106.66& 94.44& 75.32& 67.35\\ \text{ Student }& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16& 17& 18\\ \text{ Height }(\mathrm{m})& 1.82& 1.57& 1.59& 2.19& 1.54& 2.06& 1.86& 1.76& 1.51\\ \text{ Weight (kg) }& 101.55& 76.37& 91.66& 75.85& 88.82& 83.02& 74.66& 97.57& 104.56\\ \text{ Student }& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25& 26& 27\\ \text{ Height (m) }& 2.39& 1.83& 2.02& 1.99& 1.40& 1.54& 1.60& 1.88& 1.52\\ \text{ Weight (kg) }& 113.36& 64.71& 103.79& 70.02& 78.35& 80.70& 90.54& 91.55& 82.57\\ \text{ Student }& 28& 29& 30& & & & & & \\ \text{ Height (m) }& 1.41& 1.38& 1.18& & & & & & \\ \text{ Weight (kg) }& 82.49& 87.98& 67.54& & & & & & \end{array}$$

1. 求学生体重与身高的回归。
2. 使用您在 (1) 中的答案来估算身高为 1.80 时，学生的体重值。

解：

根据以上数据，我们得到以下结果：

$$\begin{array}{rl}& \sum XY=4282.115,\sum Y=2583.81,\sum X=49.48,n=30,\bar{X}=1.6493\\ & \bar{Y}=86.127,\sum X^2=84.699\end{array}$$

这些值代入方程中，

$${\beta }_1=\frac{{\sum }_{i=1}^n\left(X_i{Y}_i\right)-n\bar{X}\bar{Y}}{{\sum }_{i=1}^n\left(X_i^2\right)-n{\bar{X}}^2}=\frac{4282.115-30(1.6493)(86.13)}{84.699-30(1.6493{)}^2}=6.6503$$

回归的斜率为 6.6503。

然后代入方程中的 $\bar{Y},\bar{X}$ 和 ${\beta }_1$，得到常数项：

$${\beta }_0=\bar{Y}-{\beta }_1\bar{X}=86.13-(6.6503)(1.6493)=75.1587$$

1. 回归模型为体重 = 75.16 6.65*身高
2. 体重 = 75.16 6.65*1.80 = 87.13

R 中的回归计算：

在 R 中指定身高和体重的值，如下所示：

height<-c(1.43, 1.10, 1.24, 1.36, 2.26, 1.25, 1.74, 1.55, 1.51, 1.82, 1.57, 1.59,
2.19, 1.54, 2.06, 1.86, 1.76, 1.51, 2.39, 1.83, 2.02, 1.99, 1.40, 1.54, 1.60,
1.88, 1.52, 1.41, 1.38, 1.18)
weight<-c(92.18, 77.76, 65.44, 114.19, 82.81, 106.66, 94.44, 75.32, 67.35,
101.55, 76.37, 91.66, 75.85, 88.82, 83.02, 74.66, 97.57, 104.56, 113.36, 64.71,
103.79, 70.02, 78.35, 80.70, 90.54, 91.55, 82.57, 82.49, 87.98, 67.54)

通过回归学生的体重与身高来拟合模型，结果将随之而来。

Call:
lm(formula = weight ~ height)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-22.619 -9.917 -2.371 7.660 29.987
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 75.159 13.433 5.595 5.47e-06 ***
height 6.650 7.995 0.832 0.413
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 14.05 on 28 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.02412, Adjusted R-squared: -0.01074
F-statistic:0.6919 on 1 and 28 DF, p-value: 0.4125

示例2：预测国内生产总值

Python简单线性回归

import matplotlib.pyplot as plt

ages = cleaned_data['Age']
heights = cleaned_data['Height']
plt.scatter(ages,heights, label='Raw Data')
plt.title('Height VS Age')
plt.xlabel('Age[Years]')
plt.ylabel('Height[Inches]')
plt.legend()

示例3：预测身高

示例4：二氧化碳排放量

详情参阅 - 亚图跨际