ACM - 其他算法 - 基础（前缀和 + 差分）

一、前缀和

模板

//一维前缀和
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

//二维前缀和
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

例题1、区间余数求K倍区间个数：AcWing 1230. K倍区间

原题链接: https://www.acwing.com/problem/content/1232/

(原题来源: 第八届蓝桥杯省赛C++B组,第八届蓝桥杯省赛JAVAB组)

import java.util.Scanner;

public class Main{
    public static int[] sum = new int[100010];  //前缀和取模后
    public static int[] cnt = new int[100010];  //个数

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int k = sc.nextInt();
        long ans = 0;
        cnt[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
            sum[i] = sum[i - 1] + sc.nextInt(); //计算前缀和
            sum[i] %= k;  //求出k的整数次倍剩下的数
            ans += cnt[sum[i]];  //相当于减去前面的余数,得出以i为终点的合法子序列的种数
            ++ cnt[sum[i]];     //更新
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

例题2、前缀和+哈希求最长个数平分子串:Leetcode 面试题 17.05 字母与数字

原题链接:https://leetcode-cn.com/problems/find-longest-subarray-lcci/

思路

字母+1,数字-1,获得array的前缀和数组arr,同时记录和维护当前的sum的最远索引位置,比如对于A 1 A A 1 1 A 1 1 1 A 1 1 A,可以获得前缀和数组:1 0 1 2 1 0 1 0 -1 -2 -1.
我们可以发现对于第一个A来说,能和它匹配的最长子数组是最后一个0的位置.
以此类比,假如当前位置是字母,其前缀和为a,那么最远能匹配的位置一定是最远的前缀和为a-1的地方;
反之,假如当前位置是数字,其前缀和为a,那么最远能匹配的位置一定是最远的前缀和为a+1的地方.

class Solution {
public:
    static const int N = 100000;
    int book[N * 2 + 20], arr[N + 20];
    vector<string> findLongestSubarray(vector<string>& array) {
        int num = 0, length = array.size();
        for (int i = 0; i < length; ++ i) {
            if (isNum(array[i][0])) -- num;
            else ++ num;
            book[num + N] = i;
            arr[i] = num;
        }
        vector<string> ans;
        int maxx = 0, l = -1, r = -1;
        for (int i = 0; i < length; ++ i) {
            
            if (isNum(array[i][0])) { 
                int a = book[N + arr[i] + 1];
                if (a > i && a - i > maxx) {
                    maxx = a - i;
                    l = i, r = a;
                }
            }
            else {
                int a = book[N + arr[i] - 1];
                if (a > i && a - i > maxx) {
                    maxx = a - i;
                    l = i, r = a;
                }
            }
        }
        if (maxx == 0) return ans;
        else {
            for (int i = l; i <= r; ++ i) {
                ans.push_back(array[i]);
            }
            return ans;
        }
    }
    bool isNum(char c) {
        return c >= '0' && c <= '9';
    }
};

二、差分

1、一维差分

AcWing 797. 差分

原题链接：https://www.acwing.com/problem/content/799/

差分定义

首先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3]……a[n];

然后我们构造一个数组b ： b[1] ,b[2] , b[3]…… b[i];

使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] +…… + b[i]

也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。
换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。

解法

给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c

代码

#include

using namespace std;

const int N = 100010;

//add为差分数组，表示当前位置的变化
int nums[N], add[N];

int main() {
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> nums[i];
	while (m --) {
		int l, r, c;
		cin >> l >> r >> c;
		add[l] += c;
		add[r + 1] -= c;
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		add[i] += add[i - 1];
		nums[i] += add[i];
		cout << nums[i] << " ";
	}
	return 0;
}

2、二维差分

AcWing 798. 差分矩阵
原题链接：https://www.acwing.com/problem/content/800/


看代码应该就差不多了。

#include 

using namespace std;

const int N = 1010;

int nums[N][N], add[N][N];  //add为差分矩阵

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    add[x1][y1] += c;
    add[x1][y2 + 1] -= c;
    add[x2 + 1][y1] -= c;
    add[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main() {
    int n, m, q;
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++ j) {
            cin >> nums[i][j];
        }
    }
    while (q --) {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++ j) {
            add[i][j] += add[i - 1][j] + add[i][j - 1] - add[i - 1][j - 1];
            nums[i][j] += add[i][j];
            cout << nums[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}