莫比乌斯反演

莫比乌斯反演主要用于快速计算一些阴间式子（包含 $\gcd (i,j)$ 等）。

至于如何应用，往下看。

莫比乌斯函数

$$\mu (x)=\{\begin{array}{ll}1& x=1\\ 0& n含有平方因子\\ (-1{)}^k& k为n本质不同质因子个数\end{array}$$

假设 $x=\prod _{i=1}^k{p}_i^{c_i}$，其中 $p_i$ 为质数，$c_i\ge 1$。($20=2^2\times 5$)
若 $x=1$，则 $\mu (x)=1$。
若存在 $c_i>1$，则 $\mu (x)=0$。
若 $c_i\le 1$，则 $\mu (x)=(-1{)}^k$。

由于莫比乌斯函数可以 $O(n)$ 线性筛预处理，所以我们大可以将题目中的式子转化成包含莫比乌斯函数的式子。以此来减少计算时间复杂度。

性质

性质 #1

$\mu \ast 1=ϵ$，即

$$\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$$

补充：狄利克雷卷积
函数 $f(x)$，$g(x)$ 的狄利克雷卷积 $(f\ast g)(x)=\sum _{d|x}f(x)g(\frac{x}{d})$
可以看成：$(f\ast g)(x)=\sum _i\sum _{j}f(i)g(j)[ij=x]$

补充：狄利克雷卷积单位元 $ϵ$
$$ϵ(x)=[x=1]$$
性质：对于任意一个函数 $f$，有 $f\ast ϵ=f$。

性质 #2

$\mu \ast d=1$，即

$$\sum _{i|n}\mu (i)d(\frac{n}{i})=1$$

补充：约数个数函数 $d(x)$
$$d(n)=n的约数个数=\sum _{d=1}^n[d|n]$$

结论

套路
接下来我会讲一些结论以及其证明，通过这些结论和证明过程（还有你的思维技巧），可以解决一些莫反问题。

结论 #1

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j|i}f(j)=\sum _{i}f(i)\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$$
此结论可以在和式后面的式子 $f$ 与 $i$ 无关，但其有关的变量 $j$ 为 $i$ 的因数时使用。
最后可以通过整除分块或者其他方法快速处理 $\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$。

证明：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j|i}f(j)$$
将 $j|i$ 提出：
$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j}f(j)[j|i]$$
换位：
$$=\sum _j\sum _{i=1}^{n}f(j)[j|i]$$
将 $j|i$ 塞回：
$$=\sum _j\sum _{i=1,j|i}^{n}f(j)$$
让 $i=j{i}^{\prime }$，可以消去 $j|i$ 条件：
$$=\sum _j\sum _{i^{\prime }=1,j{i}^{\prime }\le n}f(j)$$
由于 $(\forall j{i}^{\prime }\le n)(i^{\prime }\le \lfloor \frac{n}{j}\rfloor )$：
$$=\sum _j\sum _{i^{\prime }=1}^{\lfloor \frac{n}{j}\rfloor }f(j)$$
$f(j)$ 与 $i$ 无关，所以：
$$=\sum _{j}f(j)\lfloor \frac{n}{j}\rfloor$$
换变量名：
$$=\sum _{i}f(i)\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$$

结论 #2

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }f(i,j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j|i}f(j,\frac{i}{j})$$
此结论可以转换求和公式，从而尝试化简。

证明

读者自证不难。
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }f(i,j)$$
我们令 $T=ij$，则有：
$$=\sum _{i=1}^n\sum _{T=i,i|T}^{n}f(i,\frac{T}{i})$$
由于 $(\forall T<i)(i\nmid T)$，有：
$$=\sum _{i=1}^n\sum _{T=1,i|T}^{n}f(i,\frac{T}{i})$$
将 $i|T$ 提出：
$$=\sum _{i=1}^n\sum _{T=1}^{n}f(i,\frac{T}{i})[i|T]$$
交换两个 $\Sigma$：
$$=\sum _{T=1}^n\sum _{i=1}^{n}f(i,\frac{T}{i})[i|T]$$
将 $i|T$ 再放入 $i$ 的 $\Sigma$ 中提出：
$$=\sum _{T=1}^n\sum _{i=1,i|T}^{n}f(i,\frac{T}{i})$$
由于 $(\forall i>T)(i\nmid T)$，我们可以将 $i=\mathrm{1...}n$ 的限制去掉：
$$=\sum _{T=1}^n\sum _{i|T}f(i,\frac{T}{i})$$
再换个变量名：
$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j|i}f(j,\frac{i}{j})$$

结论 #3

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[\gcd (i,j)=1]=\sum _d\mu (d)\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \lfloor \frac{m}{d}\rfloor$$

终于遇到 $\mu$ 了（

经典结论，用来化简 $\gcd$ 函数，其实其核心思想是 $[d|\gcd (i,j)]=[d|i][d|j]$。

证明：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[\gcd (i,j)=1]$$
莫比乌斯函数性质可转化为（$\sum _{d|n}\mu (d)=[n=1]$）：
$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d|\gcd (i,j)}\mu (d)$$
由于 $d|gcd(i,j)\Rightarrow (d|i\mathrm{and}d|j)$ 可知：
$$=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{d|i,d|j}\mu (d)$$
根据结论 #2，有：
$$=\sum _d\mu (d)\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \lfloor \frac{m}{d}\rfloor$$
也可以等于
$$=\sum _{d=1}^n\mu (d)\lfloor \frac{n}{d}\rfloor \lfloor \frac{m}{d}\rfloor$$

结论 #4

$$f(x)=\sum _{i}i[f(x)=i]$$
使用此结论可以把一些函数的求和转换为判断，例如：$\gcd (i,j)$（这是最常见的操作）。

证明

留作习题
那么由于 $i$ 可以取任何值，而且任何值只会取一次。所以只有一个 $i$ 满足 $i=f(x)$。

• 当 $i\ne f(x)$ 时，$i[f(x)=i]=0$。
• 当 $i=f(x)$ 时，$i[f(x)=i]=i=f(x)$。

所以 $f(x)=\sum _{i}i[f(x)=i]$

结论 #5

$$f(x)=\prod _i{i}^{[f(x)=i]}$$
使用此结论可以把一些函数的连乘转换为判断，例如：$\gcd (i,j)$。也是常见套路。

更好的是这种转换可以将函数丢到指数位置上，从而把 $\Pi$ 变成 $\Sigma$。

例如：

$$\prod _i^n\prod _j^m\gcd (i,j)=\prod _d\prod _i^n\prod _j^m{d}^{[\gcd (i,j)=d]}=\prod _d{d}^{\sum _i^n\sum _j^m[\gcd (i,j)=d]}$$

证明

留作习题
那么由于 $i$ 可以取任何值，而且任何值只会取一次。所以只有一个 $i$ 满足 $i=f(x)$。

• 当 $i\ne f(x)$ 时，$i^{[f(x)=i]}=1$。
• 当 $i=f(x)$ 时，$i^{[f(x)=i]}=i=f(x)$。

所以 $f(x)=\prod _i{i}^{[f(x)=i]}$

结论 #6

$$d(nm)=\sum _{i|n}\sum _{j|m}[gcd(i,j)=1]$$

未完待续。

快速计算

当我们通过上面的结论推导出一个式子时，可以通过暴力计算得到答案。

但是显然，一般情况下，这样做时间复杂度较高。虽然已经比暴力算原式快了不少

所以我们可以通过预处理和前缀和或者其他方式（线段树动态维护等）来降低时间复杂度。

欧拉筛（线性筛）

可以 $O(n)$ 时间内筛出大部分积性函数 $[1,n]$ 的值。

线性筛 $\mu$

最常用的，就是筛莫比乌斯函数 $\mu$，因为一反演就基本上会用到 $\mu$。

$\mu$ 为积性函数，所以若 $gcd(a,b)=1$，则 $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$。

为了筛 $\mu$，我们考虑当 $p$ 为质数时，$\mu (p)$ 的取值。显然 $\mu (p)=-1$。

那么再考虑当 $p$ 为质数，$p|a$ 时，$\mu (ap)$ 和 $\mu (a),\mu (p)$ 的关系。显然由于 $a$ 中已经包含质因子 $p$，所以 $ap$ 的质因子 $p$ 的幂一定大于等于 $2$。所以 $\mu (ap)=0$。

于是可以轻而易举的筛出 $\mu$。

线性筛

线性筛 $\varphi$

未完待续。

例题

了解完如何运用莫比乌斯反演和预处理降低时间复杂度后，我们来做点例题。

未完待续。