证明pi是无理数

证明$\pi$是无理数

​ 假设圆周率$\pi$是有理数，且$p,q$是两个互相互质的整数。那么:
$$\pi =\frac{p}{q}$$
​ 我们尝试构造一个函数$f(x)$。其表达式如下:
$$f(x)=\frac{x^n(p-qx{)}^n}{n!}(n\in N)$$
​ 用二项式定理将分子展开，写成下面多项式求和的形式:
$$f(x)=\sum _{m=n}^{2n}\frac{a_m{x}^m}{n!}(a_m,m\in Z)$$
​ 对上面的函数进行$n$次求导可得到一个关系:
$$f^{(k)}(0)\in Z,\forall k=0,1,2...$$
​ 我们对$f(x)$进行变形可以发现：
$$f(x)=\frac{x^n{q}^n(\frac{p}{q}-x{)}^n}{n!}=\frac{x^n{q}^n(\pi -x{)}^n}{n!}$$
​ 我们已知：
$$f(x)=f(\pi -x)$$
​ 上式两边求$k$次导数：
$$f^{(k)}(x)=(-1{)}^k{f}^{(k)}(\pi -x)$$
​ 我们令$x=\pi$得到:
$$f^{(k)}(\pi )=(-1{)}^k{f}^{(k)}(0)\in Z$$
​ 再构造一个函数$F(x)$:
$$F(x)=f(x)-f^{(2)}(x)+f^{(4)}(x)-...+(-1{)}^n{f}^{(2n)}(x)$$
​ 上面的函数求二次导:
$$F^{{}^{\prime \prime }}(x)=f^{(2)}(x)-f^{(4)}(x)+f^{(6)}(x)-...+(-1{)}^n{f}^{(2n+2)}(x)$$
​ 得到:
$$F(x)+F^{{}^{\prime \prime }}(x)=f(x)+(-1{)}^n{f}^{(2n+2)}(x)$$
​ 又因为$f(x)$是$2n$次多项式，故可以得到:
$$f^{(2n+2)}(x)=0$$
​ 故：
$$F(x)+F^{{}^{\prime \prime }}(x)=f(x)$$
​ 现在我们要求$f(x)sinx$的原函数：
$$\int f(x)sinxdx=\int (F(x)+F^{{}^{\prime \prime }}(x))sinxdx=F^{{}^{\prime }}(x)sinx-F(x)cosx+c$$
​ 我们求$f(x)sinx$在$[0,\pi ]$的定积分:
$$A={\int }_0^{\pi }f(x)sinxdx=F(\pi )+F(0)$$
​ 而$f(x)$的任意阶导数在$0$和$\pi$上的值还是整数，而$F(x)$是其线性组合，因此$A\in Z$

​ 但是，在$0<x<\pi$时，$f(x)>0$，因此$f(x)sinx>0$。
$$A={\int }_0^{\pi }f(x)sinxdx>0$$
​ 对构造的函数放缩，$0<x<\pi$时：
$$f(x)=\frac{x^n(p-qx{)}^n}{n!}<\frac{{\pi }^n{p}^n}{n!},sinx<1$$
​ 所以：
$$f(x)sinx<\frac{{\pi }^n{p}^n}{n!}$$
​ 因此可以得到：
$$A={\int }_0^{\pi }f(x)sinxdx<{\int }_0^{\pi }\frac{{\pi }^n{p}^n}{n!}dx=\frac{{\pi }^{n+1}{p}^n}{n!}$$

​ 当$n\to \infty$时，$\frac{{\pi }^{n+1}{p}^n}{n!}<<1$,因此$\exists n$使得：
$$0<A<1$$
​ 这与前面我们求得的$A\in Z$矛盾。故假设不成立，$\pi$是无理数。