高等数学-第一章 函数 极限 连续

一.函数
函数部分基本有四个方面,定义,性质,初等函数,其他函数
1.定义:(对应法则,定义域)
对应法则:设X.Y是两个非空实数集,如果对于X中的任意一个数x,按照对应法则f,在Y中存在唯一的数y,则称f为数集X到Y的函数,记作:X->Y.
定义域:数集X称为函数的定义域,记为D(f),数集Y称为函数的值域,记为R(f)
常用函数的定义域:
1/y, (y != 0); y^(1/2),(y >= 0),logay, y > 0; arcsiny |y |<= 1 arccosy |y| <= 1
2.性质分为:奇偶性,单调性,周期性,有界性
(1)奇偶性:证明f(x) = -f(-x) 或 f(x) = f(-x) 即可
(2)单调性:证明x1 < x2,且f(x1) < f(x2) f单调递增,否则递减
(3)周期性:证明f(x) = f(x + T)
(4)有界性:
二.极限
1.极限的性质:
(1)数列的保号性:若xn->正无穷,f(x) = A > 0,则一定存在N,使得当n > N时,xn > 0;
(2)函数的局部保号性:
若x->x0 f(x) = A , A > 0,则存在o,使得x在x0,o的去心领域内,f(x) > 0;
若x->正无穷,A > 0,则存在一个X,使得x > X, f(x) < 0
2.运算的注意事项
(1)如果碰到无穷/无穷,比较分子分母的最高次数,最高次项的系数即为结果。
(2)四则运算法则,不能对未定义式极限进行操作,例如无穷/无穷,0/0
3.极限存在的两个准则:
(1)单调有界数列必有极限
(2)夹逼准则
当x > X时,g(x) <= f(x) <= h(x), 若g(x)在x趋近于无穷时的极限为A,h(x)也为A,则g(x)为A。
4.两个重要极限
(1)当x趋近于0时,sinx / x 趋向于 1
(2)当x趋向于无穷时,(1 + 1/x)^x = e 这种极限是未定义式极限, 1的无穷次方
第二类重要极限的公式是:
f(x) 趋向于1,g(x) 趋向于无穷,则 当x趋向于无穷时,limf(x)^g(x) = e ^lim[f(x)-1]*g(x);
5.无穷小的定义:
在数列中,当n->无穷时,xn趋向于0,则称{xn}为n->无穷时的无穷小量。
在函数中,当x->无穷时,f(x) = 0, 则称f(x)为x趋向无穷的无穷小量。
在函数中,当x->x0时,f(x) = 0, 则称f(x)为x趋向于x0的无穷小量。
6.无穷小的性质:
(1)有限个无穷小的和是无穷小
(2)有限个无穷小的积是无穷小
(3)无穷小乘以有界函数仍为无穷小
7.等价无穷小的替换
a~c , b ~d lima/b = limc/d
三.连续
1.连续的三要素:
(1)函数在x0有定义
(2)函数在x0有极限
(3)lim(x->x0)f(x) = f(x0)
2.lim(x->x0+)f(x) = f(x0) 称函数右连续 lim(x->x0-)f(x) = f(x0)称函数左连续
3.函数连续的充分必要条件是函数在x0处,既左连续,又右连续
4.如果函数在[a,b] ,在a点右连续,在b点左连续,称f(x)在[a,b]上连续
f(x),g(x)都是连续的,则f(x) + g(x),f(x) * g(x), f(x)/g(x)(g(x) != 0)
5.一切初等函数在定义域内连续
6.若f(x)在x0点连续,g(u)在u0 = f(x0)处连续,则复合函数f(g(x))在点x0处连续
7.间断点:无定义点或者函数分段点
8.间断点的类型:
(1)第一类间断点:
左右极限存在:
左右极限相等为 可去间断点,补充定义可使其连续
左右极限不等为 跳跃间断点
(2)第二类间断点
左右极限不全部存在
左右极限中有一个为无穷:无穷间断点
左右极限不存在,且函数值震荡(例如:sinx,x->无穷): 震荡间断点
9.最大值最小值定理:
闭区间上的连续函数一定能够取到最大值或者最小值
推论1:开区间[a,b]上,lim(x->a+)f(x),lim(x->b-)f(x),则f(x)在(a,b)上有界。
推论2:若存在一个x0在[a,b]上,使得f(x0)为无穷,则f(x)在a,b上的开区间,闭区间,左开右闭,左闭右开区间均无界
10.介值定理:
闭区间上的连续函数,必能取到端点值中间的值
推论:在闭区间上连续的函数,必可取到最大值和最小值之间的数
11.零值定理:在[a,b]上,f(a)*f(b) < 0且连续,则一定存在一个x0,使得f(x0) = 0;
一般出题会出中值问题,意思就是告诉你在[a,b]上,f(x)连续,让你找一个x0使得一个等式成立
解决方案:
(1)构造辅助函数,即将f(x0) = f(多项式) + c 构造成 F(x) = f(x0) - f(多项式)
(2)对新定义域的端点求极限,如果是开区间求左右极限,一般的两个极限的乘积小于0
(3)零值定理,存在一个x0,使得F(x0) = 0,即f(x0) = f(多项式)

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