想要精通算法和SQL的成长之路 - 最大子数组和

前言

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一. 最大子数组和

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

这一题和 摆动序列 还挺像的。输出实例如下：

• 输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
• 输出：6
• 解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6

再讲贪心算法之前，我们先来看下暴力算法，很简单，两个for循环进行遍历，求每一个组合的总和：

public int maxSubArray(int[] nums) {
    int res = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        int count = 0;
        for (int j = i; j < nums.length; j++) {
            count += nums[j];
            res = Math.max(res, count);
        }
    }
    return res;
}

接下来再看下贪心的做法。

1.1 贪心

首先说下上面暴力的一个缺点。我们以nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]为例。当我们从第一个元素开始遍历的时候，发现他是个负数。那么问题来了：

• 以当前元素为第首元素，继续往后遍历：-2 + 1 = -1。
• 舍弃掉当前元素：取第二个元素往后遍历： 0 + 1 = 1。

无疑，我们肯定会选择第二种情况，因为两种情况比较下来，无论你想加多少个元素，前者永远比后者要小2。

那么在暴力算法的基础上，我们可以做出如下优化：

1. 如果当前和已经小于负数了，这一部分就可以剔除了（贪心的体现），后面的遍历也可以跳过了（指的是第二层循环）。
2. 那么就可以直接进入第一层循环的的下一层，那么其实只用一层循环即可。

优化后的贪心算法如下：

public int maxSubArray(int[] nums) {
    int res = Integer.MIN_VALUE;
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        count += nums[i];
        res = Math.max(res, count);
        // 和小于0了，前面一部分就不要了，重新开始计算子数组和
        if (count <= 0) {
            count = 0;
        }
    }
    return res;
}

1.2 动态规划

动态规划，我们就需要规定一个状态表达含义以及规划一个状态转移的公式。比如 dp[i] 是在 dp[i-1] 的基础上得到的。针对本题：

1. 我们设置 dp[i] 代表：以num[i]为结尾的最大子数组和。
2. 动态转移公式：dp[i] = Math.max(dp[i-1] + num[i] , num[i])，因为之前的和可能还是负数。

那么代码就不难写出来：

public int maxSubArray(int[] nums) {
    if (nums.length < 2) {
        return nums[0];
    }
    // 初始化dp数组
    int[] dp = new int[nums.length];
    dp[0] = nums[0];
    int res = nums[0];
    // 遍历数组，dp[0]就是第一个数字它本身
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
        res = Math.max(res, dp[i]);
    }
    return res;
}

我们在优化下代码，观察我们的动态规划公式，可以发现，dp[i]只和dp[i-1]有关（仅限于动态规划数组里面的变量），因此我们可以用两个变量来替代dp数组：用res代表结果以及dp[i]，用pre代表dp[i-1]：

public int maxSubArray(int[] nums) {
    int res = nums[0], pre = 0;
    for (int num : nums) {
        pre = Math.max(pre + num, num);
        res = Math.max(res, pre);
    }
    return res;
}