高教杯数学建模A题程序设计要点与思路
- 2023 年是我最后一次参加 高教杯大学生数学建模竞赛 以后不会再参加了（大四参加意义不太，研究生有研究生的数学建模大赛）
- 很遗憾 由于各种原因 我们没有能够完成赛题
- 2022 年 美赛 2022年 Mathor Cup 2022 年国赛 2022 亚太杯 2023年 美赛 2023年 国赛
- 我和我的朋友一共参加了6次比赛
- 6次比赛 我交到了很好的朋友
- 然鹅 成绩比较惨淡 S*1 H*1 省三一次
- 唉，数模啊数模，很难说出口啊
- 今年本来特别有信心的，但是，唉，。。。A题，我的痛
- 为了研究A题
- 我们先后学习了
- 数理方程
- 数值分析
- 数值仿真
- 优化算法
- 稳定性的理论
- ......
- 就是想在2023 年A题大展身手，可惜啊可惜
- 光学 我的痛
- 真的很难过 心里一直算算的 感觉对不起朋友
- 确实是我自己不行
- 自己不行啊
- 我们先后学习了
-
- 暑假刚做过手术
- 暑假手术之前去了一些大学
- 一个优营也没有拿到，毕竟年龄有点小，基础不扎实
- 本来计划三年物理系毕业然后转强基计划然后深造的，因为我真的修完了课程。
- 但是计划有变啊。三年毕竟不够扎实
- 现在去选了 核与粒子物理 欢迎交流
- 最后一次参加数学建模是2023UPC 好像是11月第一个周末
- 加油
- 本文主要介绍这几个极其重要的程序设计思路，欢迎大家参考，引用
- 真的，毕竟百度也是可以引用的嘛
- 不引用我绝对不会在意的
数值常微分
参考书目
- 微分方程的数值解法与程序实现 华冬英 李祥贵
- 量子物理学中的常用算法与程序 井孝功 赵永芳 蒿凤有
- 稳定性的理论，方法和应用
- 微分方程 动力系统与混沌导论
简介
- 很多同学学习数值分析，都是 高斯消元 牛顿迭代 然后...
- 譬如我写过的一篇博客
Python牛顿迭代法的应用
追赶法(Thomas) 雅克比迭代(Jacobi) 高斯迭代(Gauss) 的C++实现
- 其实我不建议这样，为什么呢？
- 函数零点（非线性方程组的解）的求法非常重要，是现代科学计算的基础性内容，但是，这并不意味着我们必须从这些知识学起，原因有2
- 1.简单的方法收敛条件严格，具体情况需要具体分析，大概率需要更强的算法
- 2.已经有封装好的先进方法，不应该在基础方法上浪费时间
- 包括程序设计的时间
- 包括程序运行时，因为方法优化不得当导致的计算增加时间
- 函数零点（非线性方程组的解）的求法非常重要，是现代科学计算的基础性内容，但是，这并不意味着我们必须从这些知识学起，原因有2
- 数值常微分方程求解包括下面两类
- 边值问题的求解（本征值问题的求解）
- 初值问题的求解
- 辛算法
边值问题
- 这个问题非常常见
- 学习过数学物理方程的同学或者泛函分析的课程对此一定印象深刻
- 我写过的一些博客有
变分原理与边值问题的计算机处理
计算物理专题：双向打靶法解决本征值问题
计算物理专题：有限差分法解决本征值问题
Numerov算法解一维无限深势阱的问题 (含量子力学导论)
- 你可以使用matlab Pdetool 辅助求解 这也是非常棒的选择
- 具体的代码就不放在这里了，因为这个难度比较低，关键是验证的难度很低，图一画就知道算得对不对了，也是暴力求解可以解决的问题，完全没有压力
初值问题
- 这个问题是最常见的问题 譬如2022 年高教杯A题
- 如果读者对 动力系统有一定了解的话 这个问题可以做的非常漂亮
- 我个人认为应当从动力系统学起，这样的话分析解的稳定性就会更完整更合理，而不是放一个试验方程的小招就结束了
- 初值问题的解法分为两类
- 隐式解法
- 显式解法
- 简单得说，显式解法指的是解的当前步完全由解的前几步决定
- 而隐式解法指的是
- 只能得到以当前解为未知数的一个方程，必须求解这个方程才能得到当前解
- 这也就是为什么我不建议花太多时间在高斯迭代，牛顿迭代上的原因。
- 对于单个的函数，分析算法的稳定是方便的，但是实际问题中我们更关注的是大型方程组的求解，他们往往是非线性的，耦合的，难以分析的，这时解法的稳定性分析难度会非常得大，不如采取：软件+验证的方法
- 我写过的相关的一些博客我列在这里，具体的代码我就不反复引用了
Python数值分析案例01--------四阶龙格库塔法解抛体运动
常微分方程的龙格库塔显式与隐式解法
- 尤其是第二篇文章，非常值得好好阅读，
- 直接引用相关的方法即可，均经过了实践的检验
- 包含了一个并行加速的例子，可能需要先学习一下multiprocessing
- 提示：每次求解必须有稳定性的分析，没有稳定性的分析，你的解的意义何在？可信度何在？
哈密顿系统的辛算法
- 这是很出彩的一个地方
- 如果有同学能在数学建模竞赛中实现这一点，我想是极其棒的一件事情，而且我从未见过有很好的论文在本科生竞赛中实现这一点，这是很不现代的
- 在这里我就不赘述他的优点在什么地方了，较为复杂，公式也很多，
- 但是只说一句话吧，这个方法算得出彩，就行了
- 这是我写的一篇博客，可以看看，这非常的基础，你需要很好阅读参考书才能很好得应用他
自洽可分的哈密顿系统的辛算法
参考文献
- 量子系统的辛算法 丁培柱
数值积分
- 数值积分常常在数学建模竞赛的某一处出现，还是非常重要的
蒙特卡洛积分方法
- 蒙特卡洛积分处理高维积分的效果会更优秀一点，在我很近的一篇文章中提到了对比，但只是很粗略的一笔蒙特卡洛方法的数学基础-1
- 所以如果只是处于装一下的需要的话，完全没有必要写上去
近似积分方法
- 大家常用的 矩形近似法 梯形近似法 辛普森近似 都属于这一类
- 我想，如果是已知了具体函数形式的话，使用外推法会更好一些
计算物理专题：高维Romberg数值积分方法
- 但很多时候，我们只有每个点的函数值，那么还是使用辛普森方法或者更高阶的方法要好
中心差分式
- 中心差分式是大家都很熟悉的东西了
- 我需要提到的一点是，你选取的方法的精度尽量要高一些，譬如
- 目标是 二阶近似
- 某一步需要用到中心差分值的方法是四阶近似的
- 那么你的中心差分式精度的选择应该不低于四阶才好
数值偏微分
- 这也是常考的问题
- 但是数值偏微分方程的求解极其得复杂，稳定性特别难以分析，我举一个 用迎风法求解抛物型方程的例子
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#\frac{\partial u}{\partial t} = \lambda(
#\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
#\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
#) + q_v
class projequation2D():
def __init__(self, Lambda=1, qv = lambda t, x, y:0,
X_start=0, X_end=1,
Y_start=0, Y_end=1,
T_start=0, T_end=1,
dx = 0.05,
dy = 0.05,
dt = 0.01):
#c = lambda x,y,t:(?)
self.Lambda = Lambda
self.qv = qv
self.dx = dx
self.dy = dy
self.dt = dt
self.X_start = X_start
self.Y_start = Y_start
self.T_start = T_start
self.X_end = X_end
self.Y_end = Y_end
self.T_end = T_end
self.X = np.arange(X_start, X_end, dx)
self.Y = np.arange(Y_start, Y_end, dy)
self.T = np.arange(T_start, T_end, dt)
self.results = np.zeros((len(self.T), len(self.X), len(self.Y)))
self.startresults()
def initcondition_0(self):
X_num = len(self.X)
Y_num = len(self.Y)
test_fun = lambda x,y: np.sin(5*x)*np.cos(5*y)
for ix in range(X_num):
for iy in range(Y_num):
self.results[0][ix][iy] == test_fun(self.X[ix], self.Y[iy])
def boundarycondition_left(self):
Y_num = len(self.Y)
T_num = len(self.T)
for it in range(T_num):
for iy in range(Y_num):
self.results[it][0][iy] = 25
def boundarycondition_right(self):
Y_num = len(self.Y)
T_num = len(self.T)
for it in range(T_num):
for iy in range(Y_num):
self.results[it][-1][iy] = 25
def boundarycondition_up(self):
X_num = len(self.X)
T_num = len(self.T)
for it in range(T_num):
for iy in range(X_num):
self.results[it][iy][-1] = 25
def boundarycondition_down(self):
X_num = len(self.X)
T_num = len(self.T)
for it in range(T_num):
for iy in range(X_num):
self.results[it][iy][0] = 25
def startresults(self):
self.initcondition_0()
self.boundarycondition_left()
self.boundarycondition_right()
self.boundarycondition_up()
self.boundarycondition_down()
def Upwind3P(self):
for Ti in range(1, len(self.T)):
for Xi in range(1, len(self.X)-1):
for Yi in range(1, len(self.Y)-1):
rx = self.Lambda * self.dt/(self.dx)**2
ry = self.Lambda * self.dt/(self.dy)**2
self.results[Ti][Xi][Yi] = \
rx * (self.results[Ti-1][Xi-1][Yi]+self.results[Ti-1][Xi+1][Yi])+\
2* (1-rx-ry) *self.results[Ti-1][Xi][Yi]+\
ry * (self.results[Ti-1][Xi][Yi-1]+self.results[Ti-1][Xi][Yi+1])-\
self.results[Ti-2][Xi][Yi]
return self.results
def show_wave(self):
fig = plt.figure(figsize=(8,8))
ax1 = fig.add_subplot(111, projection='3d')
x, y = np.meshgrid(self.X, self.Y)
for time in range(len(self.T)):
ax1.plot_surface(x, y, self.results[time, :, :],
rstride=2, cstride=2, cmap='rainbow')
plt.title("time:" + str(self.T[time]))
plt.pause(0.5)
plt.cla()
c = projequation2D()
u = c.Upwind3P()
c.show_wave()
- 再来一个解波动方程的例子
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 (
#\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
#\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
#)
class waveequation2D():
def __init__(self, c,
X_start=0, X_end=1,
Y_start=0, Y_end=1,
T_start=0, T_end=1.01,
dx = 0.01,
dy = 0.01,
dt = 0.01):
#c = lambda x,y,t:(?)
self.c = c
self.dx = dx
self.dy = dy
self.dt = dt
self.X_start = X_start
self.Y_start = Y_start
self.T_start = T_start
self.X_end = X_end
self.Y_end = Y_end
self.T_end = T_end
self.X = np.arange(X_start, X_end, dx)
self.Y = np.arange(Y_start, Y_end, dy)
self.T = np.arange(T_start, T_end, dt)
self.results = np.zeros((len(self.T), len(self.X), len(self.Y)))
self.startresults()
def initcondition_0(self, x, y):
return np.sin(10*x)
def initcondition_1(self, x, y):
return np.sin(10*x)
def boundarycondition_left(self, t, x, y):
return (np.sin(10*y))[0]
def boundarycondition_right(self, t, x, y):
return (np.sin(10*y))[0]
def boundarycondition_up(self, t, x, y):
return (np.sin(10*x))[0]
def boundarycondition_down(self, t, x, y):
return (np.sin(10*x))[0]
def startresults(self):
x, y = np.meshgrid(self.X, self.Y)
self.results[0] = self.initcondition_0(x, y)
self.results[1] = self.initcondition_1(x, y)
t, x, y = np.meshgrid(self.T, self.X, self.Y)
self.results[:, 0, :] = self.boundarycondition_left(t, self.X_start, y)
self.results[:, -1, :] = self.boundarycondition_right(t, self.X_end, y)
self.results[:, :, -1] = self.boundarycondition_up(t, x, self.Y_end)
self.results[:, :, 0] = self.boundarycondition_down(t, x, self.Y_start)
def test_stability(self, x, y, t):
test = 4*self.dt**2*self.c(x, y, t)**2/(self.dx**2 + self.dy**2)
if test<=1:
return True
else:
print("unstable in x:", x, "y:", y, "t:", t)
return False
def Upwind3P(self):
for Ti in range(2, len(self.T)):
for Xi in range(1, len(self.X)-1):
for Yi in range(1, len(self.Y)-1):
rx = self.c(self.X[Xi], self.Y[Yi], self.T[Ti])**2 * self.dt**2/self.dx**2
ry = self.c(self.X[Xi], self.Y[Yi], self.T[Ti])**2 * self.dt**2/self.dy**2
self.results[Ti][Xi][Yi] = \
rx * (self.results[Ti-1][Xi-1][Yi]+self.results[Ti-1][Xi+1][Yi])+\
2* (1-rx-ry) *self.results[Ti-1][Xi][Yi]+\
ry * (self.results[Ti-1][Xi][Yi-1]+self.results[Ti-1][Xi][Yi+1])-\
self.results[Ti-2][Xi][Yi]
## self.test_stability(self.X[Xi],self.Y[Yi],self.T[Ti])
return self.results
def show_wave(self):
fig = plt.figure(figsize=(8,12))
ax1 = fig.add_subplot(121, projection='3d')
ax2 = fig.add_subplot(122, projection='3d')
x, y = np.meshgrid(self.X, self.Y)
for time in range(len(self.T)):
ax1.plot_surface(x, y, self.results[time, :, :],
rstride=2, cstride=2, cmap='rainbow')
ax2.plot_wireframe(x, y, self.results[time, :, :],
rstride=2, cstride=2, linewidth=1, cmap='rainbow')
plt.title("time:" + str(self.T[time]))
plt.pause(0.01)
plt.cla()
def test_fun(x, y, t):
return 1
c = waveequation2D(c=test_fun)
u = c.Upwind3P()
c.show_wave()
- 所以一般建议使用Matlab 中的pdetool 求解
- 这是我写的两篇博客，可以参考
典型的偏微分方程数值解法
二维Poisson方程五点差分格式与Python实现
- 一定要仔细阅读有关书籍，否则很难做出比较好的成果
参考书目
- 偏微分方程的数值解法（第三版） 陆金甫
- 特殊函数概论 王竹溪
- 数学物理方法与仿真（第三版） 杨华军
- 科学计算中的偏微分方程有限差分法 张文生
优化算法
- 这是是数学建模的核心，优化求解
- 一般而言，很多问题可以做凸优化
- 但是，数学建模中的优化问题往往不能...
- 所以，要么二分法全局搜索，要么智能求解吧
- 最近会写一些相关的博客，就不具体演示了。也可以去我的博客下面找......
- 写完博客，心情舒畅不少