数学建模| 优化入门+多目标规划
优化入门+多目标规划
- 优化入门知识
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- 什么是优化问题
- 如何判断是不是优化问题
- 优化模型建模
- 求解器
- 优化问题的分类
- 多目标规划
优化入门知识
什么是优化问题
优化问题：求最优，例如获利最大、最少损失、最短路径、最小化风险等等。
例如：之前文章提到华为杯2019F题多约束条件下智能飞行器航迹快速规划，其中第一问就涉及求飞行器从A点到B点带约束下的最短路径。
如何判断是不是优化问题
题目带有优化、规划、最值、安排、分配、最合理等等。
题目涉及到图，例如三维空间飞行、二维地图上旅行。
优化模型建模
优化模型格式：决策变量+目标函数+约束条件。
决策变量：能够对目标结果产生影响的变量。
x i , i = 1 , 2 , . . . , n x_i,i=1,2,...,n xi,i=1,2,...,n
目标函数：通常都是一个Min或者Max求某个决策变量的函数表达式。例如：
M i n ( o r M a x ) z = f ( x ) , x = ( x 1 , . . . , x n ) T Min(or Max)z=f(x),x=(x_1,...,x_n)^T Min(orMax)z=f(x),x=(x1,...,xn)T
约束条件：以s.t.为开头，后面写上约束条件。
s . t . { g 1 ( x ) ⩽ 0 g 2 ( x ) ⩽ 0 . . . g n ( x ) ⩽ 0 s.t. \begin{cases} g_1(x)\leqslant0\\ g_2(x)\leqslant0\\ ...\\ g_n(x)\leqslant0\\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧g1(x)⩽0g2(x)⩽0...gn(x)⩽0
求解器
优化模型建立好之后，选择什么样的算法去解模型是比赛的关键。
求解器：用来求解模型的程序、算法之类的，在matlab里面求解器填写的其实就是函数模型。
优化问题的分类
从目标函数的个数来说：可以分成单目标和多目标。
从问题的类型来说：可以分为规划类、图论和动态规划。
规划类按照决策变量在目标函数和约束条件中是否线性：可以分为线性规划和非线性规划。
规划类中，比较特殊的是决策变量为整数的“整数规划”，和决策变量只能取0或者1的“0-1规划”。
非线性规划中比较特殊的是二次规划，目标函数是关于决策变量的二次函数，约束条件是线性函数。
图论中常见的问题有：最短路、最小生成树、网络流和排队论。
多目标规划
条件：线性规划和非线性规划只有一个目标函数，多目标函数有多个目标函数（ f i ( x ) f_{i}(x) fi(x)），讲究一个既要还要。
方法：多目标转化为单目标。
- 优先因子：可以主观上给目标函数进行一个重要性排序，来使得整体的完成情况尽量好，也就是优先因子，相当于权重（ P i P_i Pi）。
m i n ∑ P i f i ( x ) min\sum P_{i}f_{i}(x) min∑Pifi(x) - 平方加权：知道每个目标理想值的情况下，可以求每个目标函数和理想值的平方和，可以带上权重。
m i n ∑ λ i [ f i ( x ) − f i ∗ ] 2 min\sum \lambda_{i}[f_{i}(x)-{f_i}^*]^2 min∑λi[fi(x)−fi∗]2 - 乘除法：如果每个目标重要程度一样。
m i n f 1 ( x ) f 2 ( x ) . . . f k ( x ) f k + 1 ( x ) f k + 2 ( x ) . . . f n ( x ) min\frac{f_{1}(x)f_{2}(x)...f_{k}(x)}{f_{k+1}(x)f_{k+2}(x)...f_{n}(x)} minfk+1(x)fk+2(x)...fn(x)f1(x)f2(x)...fk(x) - 分开求最优解对比：有时候单独最优解之间差距可能不是很大，例如之前华为杯2019F题，有个论文就是分别求最优路径和最少矫正点，然后对比。
特殊：问题中存在刚性约束和柔性约束。刚性约束就是必须要满足的，否者就是不可行解。柔性约束就是可以存在偏差的，例如使目标f(x)尽可能不少于5，可以在5左右有正负偏差。这个正负偏差可以记作 d + 和 d − d^+和d^- d+和d−， d + = m i n { f ( x ) − f ∗ , 0 } , d − = − m i n { f ∗ − f ( x ) , 0 } d^+=min\{f(x)-f^*,0\},d^-=-min\{f^*-f(x),0\} d+=min{f(x)−f∗,0},d−=−min{f∗−f(x),0}。
例子：三个目标函数 f 1 ( x ) 、 f 2 ( x ) 、 f 3 ( x ) f_1(x)、f_2(x)、f_3(x) f1(x)、f2(x)、f3(x)，三个目标是柔性约束，1尽量不超过、2尽量等于、3尽量不少于，会发现柔性约束都有“尽量”两个字作为修饰。最终的多目标规划函数可以写成：
min { P 1 d 1 + + P 2 ( d 2 − + d 2 + ) + P 3 d 3 − } \min{\{P_1{d_1}^++P_2({d_2}^-+{d_2}^+)+P_3{d_3}^-\}} min{P1d1++P2(d2−+d2+)+P3d3−}
扩展一下格式：
m i n ∑ P i ( w i + d i + + w i − d i − ) min\sum {P_i({w_{i}}^+{d_{i}}^++{w_{i}}^-{d_{i}}^-)} min∑Pi(wi+di++wi−di−)
总结：多目标规划，可以转换成为单目标问题，然后单目标去看符合单目标中那种取套，根据情况套回规划类、图论和动态规划中。