【线性代数】

0、线性代数的本质往往被淹没在计算的海洋中，无人问津！

1、什么是向量？

向量是带方向的箭头，向量是坐标。

2、向量的线性组合

两个向量不共线，即线性无关；两个向量共线，即线性相关。

两个不共线的向量张成的空间是二维的，三个不相关的向量张成的空间是三维的，n个不相关的向量是张成的空间是n维的。

n个向量张成的空间如果小于n维，那么这n个向量组成的向量组是线性相关的。

3、矩阵与线性相关

将一个向量进行线性变换，要表述这一变换，需要表示基向量变换后的向量，将坐标写成一个数表，即矩阵，矩阵表示一个线性变换。

矩阵左乘向量表示矩阵将这个向量进行线性变换。

矩阵代表对空间的线性变换，两个矩阵相乘代表对空间进行连续两次的线性变换，优先进行右侧矩阵的线性变换。

4、行列式

一个矩阵的行列式为a，那么代表这个变换将原空间的大小变为了a倍；这里的大小，一维指线的长度，二维指面积，三维指体积，四维指代表空间大小的量。

当行列式值为0时，表示变换后原维度的空间大小变为了0，即空间被降维了。

当行列式值为负数时，其实只是方向不一样而已，若理解上述，这里不足为奇。

5、线性变换与方程组

以3*3的矩阵A代表方程组的系数矩阵，X代表未知数矩阵，V代表等号右侧矩阵。

A*X=V

意义为将X向量进行变换A，变成向量V，所以只需找到A的逆变换，将此逆变换作用在V上，即可得到X。 

A为满秩时，可以得到唯一的解X，

当A的秩为2时，那么X将被压在一个平面内，当V也不在这个平面内时，方程组无解；当V在这个平面上时，则能将投影投在这个平面上且与V重合的所有向量都是方程组的解。

6、矩阵的列空间

列向量张成空间的维数。

7、矩阵的零空间

经过矩阵变换后被压缩到原点的向量组成的空间。满秩矩阵只有零向量在变换后是零向量；对于非满秩矩阵，一系列向量在变换后被压缩到原点。

8、克莱姆法则

9、非方阵

变换维度的变换。

10、点积

向量的点乘，可以理解为把一个向量看成1*2的矩阵（二维时），这个矩阵变换另一个向量。

‘向量’ 是动词 ‘变换’ 的一个名词性表述。