第五章 二次型

引言

  1. 题型总结中推荐例题有蓝皮书的题型较为重要,只有吉米多维奇的题型次之。
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知识点思维导图

第五章 二次型_第1张图片

补充:

  1. 二次型矩阵一定是对称的,即 A T = A A^T=A AT=A
  2. 合同的性质:
    1)反身性,对称性,传递性。
    2)合同矩阵秩相同。
    3)与对称矩阵合同的矩阵也是对称的。
    4)若两个矩阵合同,则其逆矩阵也合同。
  3. 矩阵间的四个关系:
    1)等价:A、B为同型矩阵,存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B。
    2)相似:A、B为同型方阵,存在可逆阵P,使 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B
    3)合同:A、B为同型方阵,存在可逆阵P,使 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B
    4)正交相似:A、B为同型方阵,存在正交阵P,使 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B P T A P = B P^TAP=B PTAP=B
    5)正交相似一定相似,合同,等价;相似或合同一定等价。
  4. 正定二次型经线性替换仍为正定的。
  5. 二次型是正定的等价于矩阵A与E合同。
  6. 二次型是正定的,可推出其二次型矩阵的行列式值大于零。
  7. 若A正定,则A的主对角线元素均大于零。(充分条件)

易错点

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题型总结

一、正交变换法化二次型为标准型

  1. 步骤:
    1)写出二次型的矩阵A。
    2)求出矩阵 A 的所有特征值 λ 1 , λ 2 , … λ n λ_1, λ_2, …λ_n λ1,λ2,λn
    3)求出对应于个特征值的线性无关的特征向量。
    4)将特征向量正交化单位化,得 p 1 , p 2 , … p n p_1,p_2, …p_n p1,p2,pn
    5)记 P = ( p 1 , p 2 , … p n ) P=(p_1,p_2, …p_n) P=(p1,p2,pn)在正交变换 x = P y x=Py x=Py 下,二次型的标准型为 f = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + … + λ n y n 2 f= λ_1y_1^2+ λ_2y_2^2+ …+λ_ny_n^2 f=λ1y12+λ2y22++λnyn2

二、配方法化二次型为标准型

  1. 步骤:
    1)若二次型中含有 x i x_i xi 的平方项,则先把含有 x i x_i xi 的乘积项集中,然后配方,再对其余变量进行同样过程。直到所有变量都配成平方向为止。
    2)若二次型中不含有平方项,但是 a i j ≠ 0 ( i ≠ j ) a_{ij}≠0(i≠j) aij=0(i=j)。则可做可逆变换( x i = y i − y j , x j = y i + y j , x k = y k x_i=y_i-y_j,x_j=y_i+y_j,x_k=y_k xi=yiyjxj=yi+yjxk=yk)。化二次型为含有平方项的二次型,然后再按一中方法配方。
  2. 注意:先 x 1 x_1 x1,再 x 2 x_2 x2,再 x 3 x_3 x3……配完 x i x_i xi后面再配不能出现 x i x_i xi

三、初等变换法化二次型为标准型

  1. 对于二次型 f f f 的矩阵 A A A,求该二次型的线性变换矩阵 A A A。可以构造
    ( A E ) → 对整体列变换 , 只对 A 行变换 ( Λ C ) \boxed{\begin{pmatrix} A\\ E\\ \end{pmatrix} \overset{对整体列变换,只对A行变换}{\rightarrow}\begin{pmatrix} Λ\\ C\\ \end{pmatrix}} (AE)对整体列变换,只对A行变换(ΛC)

  2. 注意:
    1)对A、E做同样的初等列变换,只对A做相应的初等行变换。且列变换与行变换是配套的。(如交换1、3列,就对A交换1、3行;1/2乘第3列,就1/2乘第,3行。)
    2)A化成对角阵时,E化成的就是C。
    3)每次配套的列和行变换做完后,A仍是对称的,可据此检查计算是否正确。
    4)相同类型的列变换,如交换,乘k,乘k加到另一行,可以一起操作,完了后再做相应的行变换,以节省时间。

其余题型

  1. 二次型化为矩阵表达式 步骤:
    1)平方项系数直接做成主对角元素。
    2)交叉项的系数除以二放到两个对称的相应位置上。
  2. 矩阵化为二次型的步骤:将上述步骤逆过来即可。注意,若所给形式是 f ( x ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) A ( x 1 , x 2 , x 3 ) T f(x)=(x_1,x_2,x_3)A(x_1,x_2,x_3)^T f(x)=(x1,x2,x3)A(x1,x2,x3)T 即未说明A是二次型,则A有可能不对称,此时取对应平均值即可。

方法心得

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参考资料:
[1]安徽理工大学数学系. 线性代数(第三版修订). 天津:天津科学技术出版社, 2019.
[2]安徽理工大学数学系. 线性代数、概率论与数理统计同步辅导习题(第二版). 天津:天津科学技术出版社, 2016.
[3]张天德. 线性代数习题精选精解. 山东:山东科学技术出版社, 2009.
[4]《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师

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