第五章 二次型

引言

1. 题型总结中推荐例题有蓝皮书的题型较为重要，只有吉米多维奇的题型次之。
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知识点思维导图

补充：

1. 二次型矩阵一定是对称的，即$A^T=A$。
2. 合同的性质:
   1）反身性，对称性，传递性。
   2）合同矩阵秩相同。
   3）与对称矩阵合同的矩阵也是对称的。
   4）若两个矩阵合同，则其逆矩阵也合同。
3. 矩阵间的四个关系：
   1）等价：A、B为同型矩阵，存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B。
   2）相似：A、B为同型方阵，存在可逆阵P，使$P^{-1}AP=B$。
   3）合同：A、B为同型方阵，存在可逆阵P，使$P^{T}AP=B$。
   4）正交相似：A、B为同型方阵，存在正交阵P，使$P^{-1}AP=B$或$P^{T}AP=B$。
   5）正交相似一定相似，合同，等价；相似或合同一定等价。
4. 正定二次型经线性替换仍为正定的。
5. 二次型是正定的等价于矩阵A与E合同。
6. 二次型是正定的，可推出其二次型矩阵的行列式值大于零。
7. 若A正定，则A的主对角线元素均大于零。（充分条件）

易错点

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题型总结

一、正交变换法化二次型为标准型

1. 步骤：
   1）写出二次型的矩阵A。
   2）求出矩阵 A 的所有特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots {\lambda }_n$。
   3）求出对应于个特征值的线性无关的特征向量。
   4）将特征向量正交化单位化，得$p_1,p_2,\dots p_n$。
   5）记 $P=(p_1,p_2,\dots p_n)$在正交变换 $x=Py$ 下，二次型的标准型为 $f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\dots +{\lambda }_n{y}_n^2$

二、配方法化二次型为标准型

1. 步骤：
   1）若二次型中含有 $x_i$ 的平方项，则先把含有 $x_i$ 的乘积项集中，然后配方，再对其余变量进行同样过程。直到所有变量都配成平方向为止。
   2）若二次型中不含有平方项，但是$a_{ij}\ne 0(i\ne j)$。则可做可逆变换（$x_i=y_i-y_j，x_j=y_i+y_j，x_k=y_k$）。化二次型为含有平方项的二次型，然后再按一中方法配方。
2. 注意：先$x_1$，再$x_2$，再$x_3$……配完$x_i$后面再配不能出现$x_i$。

三、初等变换法化二次型为标准型

1. 对于二次型 $f$ 的矩阵 $A$，求该二次型的线性变换矩阵 $A$。可以构造
   $$\boxed{\left(\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right)\stackrel{对整体列变换,只对A行变换}{\to }\left(\begin{array}{c}\Lambda \\ C\end{array}\right)}$$

2. 注意：
   1）对A、E做同样的初等列变换，只对A做相应的初等行变换。且列变换与行变换是配套的。（如交换1、3列，就对A交换1、3行；1/2乘第3列，就1/2乘第,3行。）
   2）A化成对角阵时，E化成的就是C。
   3）每次配套的列和行变换做完后，A仍是对称的，可据此检查计算是否正确。
   4）相同类型的列变换，如交换，乘k，乘k加到另一行，可以一起操作，完了后再做相应的行变换，以节省时间。

其余题型

1. 二次型化为矩阵表达式 步骤：
   1）平方项系数直接做成主对角元素。
   2）交叉项的系数除以二放到两个对称的相应位置上。
2. 矩阵化为二次型的步骤：将上述步骤逆过来即可。注意，若所给形式是 $f(x)=(x_1,x_2,x_3)A(x_1,x_2,x_3{)}^T$ 即未说明A是二次型，则A有可能不对称，此时取对应平均值即可。

方法心得

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参考资料：
［1］安徽理工大学数学系. 线性代数（第三版修订）. 天津：天津科学技术出版社, 2019.
［2］安徽理工大学数学系. 线性代数、概率论与数理统计同步辅导习题（第二版）. 天津：天津科学技术出版社, 2016.
［3］张天德. 线性代数习题精选精解. 山东：山东科学技术出版社, 2009.
［4］《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师