【CFD小工坊】学习二维浅水方程基础理论，从零开始编译计算水力学代码

前言

CFD小工坊是一个本博客一个全新的系列，他将包含我学习二维浅水方程理论，直至编译一个实用的求解器的过程。主要内容有：

1. 二维浅水方程基本方程，物理意义；
2. 数值离散方法（非结构化网格），以及离散方程的形式；
3. 求解器的编写。

对于编程语言，我准备以c/c++为主，并辅以一定的MATLAB脚本。我目前还未熟练掌握c/c++，也希望通过这个系列能逐步学习其使用。也希望和大家一起交流，不断完善我们的博客。

对于本博客中所涉及的所有源代码，我目前暂不开源，但我会在博客中展示一些核心部分。待整个模型开发完成且手册编写完成后，我大概会将源代码和相关资料上传至GitHub。

作为这个系列的开始，本篇博文将简要介绍浅水方程。

浅水动力学

顾名思义，浅水动力学的研究对象是浅水流。浅水流一般有着以下特征：

1. 有自由表面；
2. 以重力为主要驱动力，以水流与面体边界之间及水流内部的摩阻力为主要耗散力，有时还存在水面气压场、风应力及地转偏向力的作用；
3. 水平流速沿垂线近似均匀分布，不必考虑实际存在的对数或指数等形式的垂线流速分布;
4. 水平运动尺度远大于垂直运动尺度，垂向流速及垂向加速度可忽略，垂向的水压力分布接近静压分布。

事实上，自然界中的水流运动在物理上都属于三维流动，其运动一般可用不可压缩Navier-Stokes方程描述。考虑到浅水流动有着上述第3、4点特性，我们通常将其动力学方程沿着垂向积分（忽略物理量垂向上的空间变化），得到一个二维方程组。这个描述浅水流动的方程组被称为浅水方程，或圣维南方程组（2-D Saint-Venant Equation, 2D SVE）。

在自然界和工程应用中，能作为浅水流动处理的水流通常出现在下列情况中：

1. 水深相对较浅，即流动的水平尺度远大于垂直尺度。
2. 水底底坡较缓；如果底坡倾角为α，则有α≈sinα≈tanα。此时，底坡引起的垂直速度和垂直环流可以忽略，也不必考虑垂直加速度及由此产生的动水压力（满足“静压假定”）。
3. 水面渐变且坡度较缓。
4. 无明显的垂直环流。

因此，浅水方程常用于描述以下流动：漫滩洪水、灌溉水系、平原河网水流、入库洪水流、溃坝流、河口潮流、近岸风暴潮等等。

然而，从数学上求解二维浅水方程并不容易。通常需要数值方法将其离散，求其近似解。这边衍生出“计算浅水动力学”这一学科方向。至今，已有许多求解浅水方程的成熟方法，本博客将选择其中的一种“有限体积法”来设计、完成求解器。

二维浅水方程

二维浅水方程的守恒形式如下：
∂ U ∂ t + ∂ E ( U ) ∂ x + ∂ G ( U ) ∂ y = S ( U ) U = ( h h u h v ) , E ( U ) = ( h u h u 2 + g h 2 2 h u v ) , G ( U ) = ( h v h u v h v 2 + g h 2 2 ) , S ( U ) = ( 0 g h ( S 0 x − S f x ) g h ( S 0 y − S f y ) ) \dfrac{\partial \bold{U}}{\partial t} + \dfrac{\partial \bold{E(U)}}{\partial x} + \dfrac{\partial \bold{G(U)}}{\partial y} = \bold{S(U)} \\[6pt] \bold{U} = \left( \begin{matrix} h \\ hu \\ hv \end{matrix} \right), \bold{E(U)} = \left( \begin{matrix} hu \\ hu^2+\dfrac{gh^2}{2} \\ huv \end{matrix} \right), \bold{G(U)} = \left( \begin{matrix} hv \\ huv \\ hv^2+\dfrac{gh^2}{2} \end{matrix} \right), \\[6pt] \bold{S(U)} = \left( \begin{matrix} 0 \\ gh(S_{0x} - S_{fx}) \\ gh(S_{0y} - S_{fy}) \end{matrix} \right) ∂t∂U​+∂x∂E(U)​+∂y∂G(U)​=S(U)U= ​hhuhv​ ​,E(U)= ​huhu2+2gh2​huv​ ​,G(U)= ​hvhuvhv2+2gh2​​ ​,S(U)= ​0gh(S0x​−Sfx​)gh(S0y​−Sfy​)​ ​
式中，x和y表示平面笛卡尔坐标的两个方向，t表示时间，h表示水深；u和v表示x和y方向上的流速，**E(U)和G(U)**表示界面通量，**S(U)**表示源项。
$$\begin{gathered} S_{0x}=-\frac{\partial z_b}{\partial x},S_{0y}=-\frac{\partial z_b}{\partial y} \\ {S}_{fx}=n^{2}u\sqrt{u^2+v^2}{h}^{-4/3},S_{fy}=n^{2}v\sqrt{u^2+v^2}{h}^{-4/3} \end{gathered}$$
式中，*z_b*表示水底高程，n表示水底糙率。

此外，需要明确的一点是水位η、水深h及水底高程z_b的相对关系是：
$$\eta =h+z_b$$

参考资料

1. 谭维炎《计算浅水动力学》
2. Jingming Hou et. al. A 2D well-balanced shallow flow model for unstructured grids with novel
   slope source term treatment. Advances in Water Resources. 2013.