爬楼梯 2022-02-25 周五

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

• 示例 1：
  输入：n = 2
  输出：2

解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

• 示例 2：
  输入：n = 3
  输出：3

解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

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思路

递归

• 动态规划，公式为：f(n)=f(n−1)+f(n−2)

• 这个其实就是有名的生小兔子：斐波那契数列
  斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）

• 第一反应就是递归；退出条件和递推都很明确。

递归（C语言）

int climbStairs(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (n == 2) {
        return 2;
    }

    return (climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2));
}

结果应该是对的，但是不符合复杂度要求：

递归解法

滚动数组

递归的好处是理解起来简单，坏处是占用内存太多。递归对应的数据结构是栈。每计算一个，就要将前两个压栈，当n较大的时候，栈空间就用完了。
滚动数组只需要3个存储位置就好了。
原理其实很简单：
计算下一个的时候，当前的f(n-2)已经没用了，可以丢弃。所以通过移动的方式，将当前3个数字往前挪一位，然后计算前2个的和，放入第3个位置就可以了。

• C代码

int climbStairs(int n) {
    // 边界条件
    if (n == 0) {
        return 1;
    }
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (n == 2) {
        return 2;
    }

    // n从3开始就通过滚动计算获得
    int target = 2;      // f(2)  f(n)
    int previous1 = 1;   // f(1)  f(n-1)
    int previous2 = 1;   // f(0)  f(n-2)

    // 滚动数组
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        // 现在f(n-1)就是下个数的f(n-2)
        previous2 = previous1; 

        // 现在f(n)就是下个数的f(n-1)
        previous1 = target; 

        // 执行公式f(n) = f(n-1) + f(n-2)
        target = previous1 + previous2;
    }

    // 返回结果
    return target;
}

力扣代码位置

JS的实现和C基本一样，不用贴了。把int 改为let就好了。当然性能还是10倍以上的差距。