树形DP-树的直径与重心

直径

定义

给定一颗树$T=\left(V,E\right)$ 直径为$maxlen(u,v)(u,v\in V)$
树的直径普遍有两种求法，一个是两边$bfs/dfs$另一个就是树形DP

树形DP解树的直径

这颗树的直径很明显，就是$(8,14)$
而如何用代码实现呢？

首先令：
$f_{i,1}$为点$i$能到达的最远的距离
$f_{i,2}$为点$i$能到达的次远的距离
则
$$f_{i,1}=\underset{j\in i}{\max }{f}_{j,1}+len(i,j)$$
$$f_{i,2}=\underset{k\in i\&\&k\ne j}{\max }{f}_{k,1}+len(i,k)$$
$$maxlen=\underset{i\in V}{\max }(maxlen,f_{i,1}+f_{i,2})$$
这样便实现了一遍遍历找出树的直径

注意

1. $f_{i,1},f_{i,2},maxlen(i\in V)$的更新应该在遍历过后回溯时进行
2. 直径不一定经过根
   例如 ：
   的直径应该是$10-7-4-2-5-8-11-12-14$并没有经过$(1)$

重心

定义

找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少

树形DP解树的重心

令：
$N$为所有节点数
$f_i$为$i$的子树的个数
$m_i$为$i$的子树的节点数的最大值
则：
$$m_i=\underset{j\in i}{\max }{f}_j$$
$$f_i=\sum _{j\in i}{f}_j$$
$$ans=\underset{i\in V}{\min }(ans,\max (m_i,N-f_i))$$