电子信息工程专业课复习知识点总结：(四）信号与系统、数字信号处理

这次我不具体把所有概念写出来了，只针对一些面试中经常提问的重点问题。

第一章 信号与系统基本概念

这里提出一个信号与系统这本书的大纲：这本书研究的就是信号与系统的关系。

一.信号是什么？

①信息是自然世界中一种表现形式，如声音、气息、图像等形式。信号是信息的载体，载有信息，并随时间这种自变量而变化。

1.信号的分类

（1）连续信号与离散信号

自变量取值是连续的，就是连续信号；若时间和幅值均连续，则称模拟信号。
自变量取值不连续，则叫离散信号。时间离散但幅值连续叫采样信号，时间离散且幅值离散叫数字信号。

（2）能量信号和功率信号
①能量信号：在无限长的时间里，能量是有限的，所以功率为0
②功率信号：在无限长的时间里，每段时间的功率是有限的，所以能量趋于无穷。

2.信号的变换

主要有信号的相加、相乘、微分、积分、反褶、时移、尺度变换（尺缩）

二、系统是什么？

广义的讲：系统是一些相互联系又相互制约的具有某些功能的事物的整体。
数学上，系统就是：对输入信号（激励）起到作用，使得产生输出信号（响应）的东西

1.系统的分类

(1)线性系统和非线性系统
线性系统是满足叠加性和齐次性的系统。
叠加性就是对于多个输入作用于系统后得到的输出等效于单个输入作用于系统的输出之和。
齐次性就是说输入变为原来的n倍，则输出也变为原来的n倍。

（2）时不变和时变系统
时不变：①元件参数不随时间的变化而变化。
②原来的输入信号在延时一段时间后输入，那么作用于系统后输出的信号也会有对应的延时。

（3）因果和非因果系统
因果系统：有因才有果。系统在某一时刻的响应只取决于这一时刻之前的输入，而与这一时刻后的输入无关。

（4）稳定与不稳定系统
稳定系统：对任何有界输入只产生有界输出的系统。

2.核心研究对象：LTI线性时不变系统

3.分析一个系统的方法有什么？

答：主要是输入-输出法和状态变量法。

第二章 连续时间信号与系统的时域分析——微分方程、卷积

1.几种常用连续时间信号

①实指数信号
②复指数信号
③抽样信号Sa（t）函数:sint /t
④单位阶跃函数和单位冲激函数

2.连续时间系统

主要记住这些知识点：
①连续时间函数可以用许多时延不同的单位冲激函数来表示。
②对于一个系统，可以建立出描述系统特性的微分方程，LTI系统的数学模型就是一个线性常系数微分方程。
③对一个微分方程求解，即求得系统的响应。微分方程的全解=齐次解+特解
④齐次解-取决于系统本身特征-自然响应
特解-与激励信号有关–受迫响应

3.LTI系统中单位冲激响应的重要性

①由于连续时间函数可以用许多时延不同的单位冲激函数来表示，所以利用单位冲激响应可以方便的求解系统在任意激励信号下的零状态响应。
②单位冲激响应对于分析系统的因果性和稳定性有很大的帮助。

4.卷积对于信号与系统分析有什么意义？

我们知道，任何连续时间信号都可以分解为多个时延不同的冲激信号的叠加，那么可知：
线性时不变系统的零状态响应是 输入信号 与 系统的单位冲激响应 的卷积。

第三章 连续时间信号与系统的频域分析–傅里叶变换

1.一般周期信号的傅里叶变换频谱特性

①离散性：频谱的自变量是不连续的，离散的。
②谐波性：频谱有很多谐波，谐波只出现在基波频率Ω的整数倍频率上。
③收敛性：随着谐波次数增大，谐波的幅值将逐渐减小。

2.连续时间系统的频域分析

1.利用傅里叶变换求零状态响应

这里引出了第一种分析信号与系统的方法：变换域分析法，把时域中求解微分方程（响应）转换为频域中，求解零状态响应的办法。
牢记：系统的零状态响应r(t) = 激励信号e(t) 和 系统的冲激响应h(t) 的卷积
r(t) = e(t) * h(t)
①由时域卷积定理：R(jw)=E(jw)H(jw)
②H（jw）为系统函数，又叫频率响应函数，它包括幅频响应和相频响应。
③所以要求零状态响应，就首先求出激励信号的傅里叶变换，然后求出系统函数，求出二者卷积和，然后反变换求出时域响应。

2.系统无失真传输的条件

①系统函数H（jw）的幅频特性是一个常数，即与x轴平行的直线。
②系统函数H（jw）的相频特性是一条过原点的直线。

第四章 连续时间信号与系统的复频域分析-拉普拉斯变换

1.拉普拉斯变换的收敛域

2.系统函数

与傅里叶变换相似，系统冲激响应h（t）的拉普拉斯变换即为系统函数。

3.系统稳定性讨论

①稳定：若H（s）的全部极点在左半平面，则稳定。
②临界稳定：若除了左半平面外，在原点处或者虚轴上有单阶级点，则临界稳定。
③只要任意有一个极点在右半平面，就不稳定。

第五章 离散时间信号与系统的时域分析——抽样定理

1.抽样的概念

前面学习到，模拟信号或者连续信号要变成离散的数字信号，需要：抽样——量化——编码。
抽样：可以将时域连续幅值连续的信号变为时域离散幅值连续的信号
量化：将时域离散幅值连续的信号变化为时域、幅值均离散的信号

2.抽样定理（奈奎斯特定理）

对于一个信号，最高频率为Fm，它的频谱图是一些离散的冲激信号。抽样会出现三种情况：
若抽样频率F<2Fm时，会出现频谱混叠现象。
若抽样频率F>=2Fm时，不会出现频谱混叠，能够进行理想采样。
把2Fm叫做奈奎斯特抽样频率

3.离散信号研究的是序列。它与连续时间信号不同，连续时间信号与系统的数学模型是微分方程，而离散时间信号与系统数学模型是差分方程。

同样有齐次解和特解，同样有零状态响应和零输入响应。

4.离散时间系统也有卷积，叫卷积和。

同样，系统零状态响应是激励信号与系统冲激响应的卷积和

第六章 离散时间信号与系统的Z域分析——Z变换

1.Z变换的收敛域

一般来说，Z变换的收敛域可以分为三种情况：

单边收敛：如果Z变换的序列是因果序列，即在时域上是从n=0开始的，那么Z变换在单位圆内（|z|<1）收敛。在单边收敛的情况下，Z变换在单位圆内解析，收敛域包括单位圆及其内部。

双边收敛：如果Z变换的序列是双边序列，即在时域上序列可以在n=0之前和之后有值，那么Z变换在整个复平面上都可能收敛。在双边收敛的情况下，Z变换在整个复平面解析，收敛域为整个复平面。

区域收敛：在某些特殊情况下，Z变换的收敛域可能是复平面上的一个区域。这种情况下，收敛域的形状和位置取决于具体的序列和变换的性质。一般来说，收敛域可以是复平面上的一个扇形、环形、矩形或其他形状的区域。

2.重点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的关系

第七章 系统的状态变量分析法

1.涉及到信号与系统这门课研究的方法：①输入-输出法 ②状态变量法

①输入输出法：对于系统的时域、频域的分析，不管是微分方程求解、傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换，总归都是针对一个激励信号，求解其在系统中得到的响应，这是一种单输入-单输出的形式。

②状态变量法：针对的是多输入-多输出系统，描述系统内部特性的状态变量。

————————————————————————————————————————

总结一下《信号与系统》可能的面试题：

1.信号与系统这门课研究的是什么？

答：《信号与系统》这门课顾名思义，研究的主体是信号与系统，具体是指确定信号（波形已知）和LTI线性时不变系统。信号作用于系统，会获得一个响应。书上使用了：输入输出法和状态变量法这两种研究方法来分析系统响应。

2.输入输出法是什么？

答：输入输出法针对的是输入激励信号在系统作用下的输出响应。本书大部分内容讲的就是输入输出法，包括时域分析和变换域分析。时域里面，一般可以列出系统的初始状态和微分方程进行求解；变换域包括频域、复频域、Z域，体现为傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换，通过求系统函数来研究响应。

3.状态变量法是什么？

答：状态变量分析法不仅要讨论输入，还要考虑系统内部节点的变化，列出系统状态方程和响应方程，利用矩阵的知识求解响应。

4.输入输出法中具体的系统分析方法？

答：①时域分析：通过系统的初始条件、微分方程，利用求齐次解、特解、卷积等方法，求出系统的比如全响应、零状态响应等，自变量是时域，优点是直观地反映信号随时间地变化，缺点是计算量大。
②变换域分析：包括傅里叶变换和拉普拉斯变换，将信号从时域变换到频域、复频域，可以求出系统函数、求出系统冲激响应后卷积再逆变换，快速地求出系统响应，优点是计算量小，缺点是物理意义不如时域。

5.连续系统有什么表示的形式？

答：①微分方程
②单位冲激响应h（t）
③网络函数H（jw）——傅里叶变换
④系统函数H（s）——拉普拉斯变换

6.如何判断系统的因果性、稳定性、滤波特性？

答：
（1）因果性：
①定义法：当前时刻的输出只取决于当前时刻和之前时刻的输入，而与未来无关。
②拉普拉斯变换中，若收敛域在直线的右侧，则因果。
（2）稳定性：
①定义：若输入是有界的信号，则输出也是有界的信号。
②拉普拉斯变换中：若收敛域包含虚轴，就是稳定的。
（3）滤波特性：可以通过时域到频域的变换，画出幅频响应曲线，看出是否是高通、低通、带通等形式。

7.讲一下傅里叶变换的概念、作用？

答：傅里叶变换的概念： 傅里叶变换将一个连续时间域上的信号函数 f(t) 转换为一个连续频域上的函数 F(ω)，其中 ω 是频率。这种变换是通过将信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现的。我的理解就是，一个信号，可以通过各种不同频率的三角函数信号叠加来合成，叠加的三角信号越多，合成的信号就越贴近原信号。

我认为傅里叶变换的作用主要有：
①频谱分析：傅里叶变换可以将一个信号分解为不同频率的分量，从而提供了信号在频域上的信息，使我们能够进行频谱分析。通过分析信号的频谱，我们可以了解信号中包含的各种频率成分，如谐波、噪声等。
②信号处理：将信号从时域转换到频域，我们可以对信号进行滤波、降噪、调制等操作，从而改变信号的特性。
③调制解调：在通信系统中，FT可以利用不同的载波频率，将基波信号调制到不同的频段，提高频带利用率。解调时，可以利用FT进行合适的滤波处理得以完美的恢复原信号。

8.为什么学了傅里叶变换，还要拉普拉斯变换、Z变换呢？

答：首先，一个信号满足绝对可积条件，即对信号求积分后小于无穷时（可以认为信号是衰减的），FT存在。那么，其实很多信号并不满足绝对可积条件，比如多项式、指数函数等，

拉普拉斯变换就是把这些不满足FT条件的时间连续信号，从时域变换到频域去。比如y=x^3,它的增长速度大于复指数信号增长速度，因此无法用复指数信号去拟合，但是我们可以乘以一个衰减因子，让这个信号可以匹配上傅里叶变换的条件。

Z变换就是把这些不满足FT条件的时间离散信号，从时域变换到频域去。

9.说一下你理解的拉普拉斯变换以及收敛域的概念？

答：拉普拉斯变换就是把这些不满足FT条件的时间连续信号，从时域变换到频域去。比如y=x^3,它的增长速度大于复指数信号增长速度，因此无法用复指数信号去拟合，但是我们可以乘以一个衰减因子，让这个信号可以匹配上傅里叶变换的条件。

收敛域其实就是衰减因子e^（δt）中的δ取多大的值，能让信号收敛后满足傅里叶变换的条件。拉普拉斯变换收敛域对应的是直角坐标，是一个平面。

10.说一下对Z变换的理解和收敛域？

答：Z变换是针对数字信号的，这类离散信号同样类似傅里叶变换，是被分解为不同频率的离散复指数信号，并求出对应坐标。对于不满足FT条件的信号，乘以衰减因子，使得离散复指数能跟得上信号的变换。

Z比变换的收敛域是极坐标的单位圆。

11.零状态响应求解有哪些方法？全响应、自由响应、受迫响应又是什么？

答：①直接求解：根据系统的微分方程或差分方程，利用初始条件和输入信号，直接求解出零状态响应。
②拆分法（分离变量法）：对于线性时不变系统，可以将输入信号分解为基本的单位响应（如冲激响应或阶跃响应）的线性组合。零状态响应等于激励信号与系统冲激响应的卷积。
③拉普拉斯变换：使用拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程。通过求解代数方程，可以得到系统的系统函数H（s）。然后将传递函数与输入信号的拉普拉斯变换进行乘积，再进行反变换，可以得到零状态响应。
④Z变换：对于离散时间系统，可以使用Z变换将差分方程转换为代数方程。通过求解代数方程，可以得到系统的传递函数。然后将传递函数与输入信号的Z变换进行乘积，再进行反变换，可以得到零状态响应。

12.周期信号的频谱特点？

答：①离散性：频谱的自变量是不连续的，离散的。
②谐波性：频谱有很多谐波，谐波只出现在基波频率Ω的整数倍频率上。
③收敛性：随着谐波次数增大，谐波的幅值将逐渐减小。

13.帕斯瓦尔定理是什么？

答：帕斯瓦尔定理是一种数学定理，它描述了信号在时域和频域之间的能量守恒关系。简单来说，帕斯瓦尔定理告诉我们，一个信号的能量在时域和频域表示下是相等的。

在连续时间情况下，我们可以将信号表示为一个函数x(t)，通过傅里叶变换将其转换为频域表示X(f)。帕斯瓦尔定理告诉我们，在时域表示下，信号的能量可以通过计算信号在每个时间点的幅度的平方，并对其进行积分来求得。而在频域表示下，信号的能量可以通过计算信号在每个频率点的幅度的平方，并对其进行积分来求得。帕斯瓦尔定理指出，这两个能量值是相等的。

14.为什么收音机加速播放，声音会变尖锐？

答：这与信号的时域与频域的关系有关。时域压缩，相应频域会拓宽。信号的频谱是有基波和高频谐波分量组成的，当频域拓宽时，原有滤波器无法滤除新出来的高频分量，导致声音信号幅度变高。

15.系统无失真传输的条件？

答：①系统幅频特性是一条平行于x轴的直线，即一个常数。
②系统相频特性是一条过原点的直线。

——————————————————————————————————————————

《数字信号处理》

1.数字信号处理的定义

对数字序列进行处理，将信号变换成符合要求的形式。主要包括数字频谱分析和数字滤波处理两大部分。

第二章 时域离散时间信号与系统

1.采样定理

采样定理，也被称为奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon sampling theorem），是指在进行采样时，为了能够完全恢复原始信号，采样频率必须满足一定的条件。

采样定理的表述如下： 若一个连续时间域的信号的最高频率为f_max，则为了能够完全恢复该信号，采样频率f_s必须满足f_s > 2f_max。

换句话说，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。这是因为根据奈奎斯特定理，在进行采样时，信号的频谱会被重复无限次地拷贝到采样频率一半的频率范围内。如果采样频率小于信号最高频率的两倍，那么这些频谱副本将会重叠，导致采样后的信号无法完全恢复原始信号。

2.与《信号与系统》内容一致的地方：

①一些常见的离散数字序列
②序列的相加、相乘、反褶、位移、卷积和等运算
③线性非移变系统（即线性非时变系统）的线性（齐次性和可加性）、非时变性、单位冲激响应与卷积和的关系
④LTI系统的性质：交换律、结合律、分配律
⑤稳定系统的判断：有界的输入与有界的输出
⑥因果系统：系统的输出只取决于输入的时刻以及该时刻之前，而与未来无关。
⑦线性常系数差分方程：类似于连续信号的微分方程，差分方程适用于离散时间系统。

第三章 离散时间信号与系统的频域分析

1.连续时间信号有傅里叶变换，而离散时间序列也有傅里叶变换。

2.Z变换：包括Z变换的定义、性质、收敛域、逆变换、基本定理

3.傅里叶、拉普拉斯、Z变换的关系

第四章 离散傅里叶变换

背景：序列的傅里叶变换是一种时域离散但是频域连续的变换，不利于计算机进行处理。 现在要研究一种重要的有限长序列，发明了DFT（离散傅里叶变换）实现了时域和频域的同时离散化。

一、傅里叶变换的几种形式

①连续非周期信号：频域也是连续、非周期的
②连续周期信号：频域是非周期、离散的
③离散非周期信号：频域是周期、连续的
④离散周期信号：频域是周期、离散的

可以看出一个特点：时域与频域的连续性与周期性，是相对且相反的。*
时域——频域
周期——离散
非周期——连续
连续——非周期
非连续——周期

二、离散傅里叶级数——DFS

其实并不重要，这里引出了周期卷积的概念。

周期卷积（循环卷积）与线性卷积（有限长序列卷积）的区别？

①周期卷积是两个周期为N的序列的卷积，结果也是周期序列。线性卷积针对的是有限长序列，结果也是有限长的。
②周期卷积在反褶求和时，只在一个周期上进行。线性卷积的求和是对整个序列进行的。
③线性卷积的结果进行周期延拓后，等效于这两个有限长序列周期延拓后的周期卷积。

三、离散傅里叶变换——DFT

——————————————————————————————

《数字信号处理？一些面试题

1.什么是采样？什么是量化？什么是编码？

答：采样是指将连续时间的信号转换为离散时间的过程。在采样过程中，连续时间信号在一定时间间隔内进行测量或采集，得到离散时间的样本值。采样定理（奈奎斯特定理）指出，为了能够完整地还原原始信号，采样频率必须大于等于原始信号中最高频率的两倍。

量化是指将连续幅度的信号转换为离散幅度的过程。在量化过程中，*采样得到的连续时间信号的样本值被映射到离散的幅度级别上。量化过程中，信号的幅度被分成有限个离散级别，每个级别对应一个离散幅度值。量化的目的是将连续信号的无限可能的幅度值变为有限的离散幅度级别，以便进行数字表示和处理。 可能会产生量化误差或量化噪声。

编码是指将离散时间和离散幅度的信号转换为数字形式的过程。在编码过程中，量化后的离散幅度值被表示为二进制码（或其他数字编码形式），以便于数字信号的存储、传输和处理。编码过程中，每个离散幅度值被映射到一个对应的二进制码或编码形式。编码的目的是将离散幅度值以数字形式表示，使得信号可以用计算机或其他数字设备进行处理。

2.对模拟信号进行数字处理，有什么过程？

答：①前置滤波器处理——防止采样时造成的频谱混叠失真。
②AD转换器中进行取值与量化
③经过数字处理
④DA转换器恢复模拟信号
⑤后置滤波器——滤去高频噪声，调高精度

3.正弦序列是否一定是周期序列？

答：不一定。对于sin wt，如果2Π/w是有理数，就是周期序列，如果是无理数，就不是周期。

4.DSP和FPGA的区别？

DSP是一种专用的微处理器，它被设计用于高效处理数字信号。DSP芯片通常具有专门的硬件指令集和优化的算法，以实现在实时应用中对信号进行高速处理的能力。DSP芯片通常具有较高的时钟频率和并行计算能力，适用于音频和视频处理、通信系统、雷达信号处理等领域。DSP通常具有较高的功耗，但在处理数字信号方面具有较高的效率和灵活性。

FPGA是一种可编程逻辑芯片，它由大量可编程的逻辑门和可编程的连线组成。FPGA可以根据设计者的需求进行灵活的硬件逻辑配置。FPGA可以通过编程实现不同的电路功能，在需要快速原型开发、低功耗、定制电路和高度并行计算的应用中得到广泛应用。FPGA通常具有较低的时钟频率和较高的功耗效率，但在可编程逻辑和并行计算方面具有较高的灵活性和可定制性。

DSP和FPGA在应用领域和设计方法上有一些重叠，但也有一些区别。DSP更适合于数字信号处理、实时控制和算法优化等应用，而FPGA更适合于定制电路、快速原型开发和高度并行计算等应用。选择使用DSP还是FPGA取决于具体的应用需求、性能要求和设计复杂度。

5.DSP系统常见的基本运算？

答：加法器、乘法器、位移运算

6.讲述一下奈奎斯特定理？

答：奈奎斯特定理主要用在对模拟信号进行采样时，采样频率至少是信号最高频率的2倍时，才能保证频谱不出现混叠，从而保证信息不会丢失。低于2倍时，会出现频谱混叠。

7.什么是频谱混叠？如何避免频谱混叠？

答：当采样频率不满足奈奎斯特定理时，高频的信号频率会被错误地映射为低频的频率，这就是频谱混叠。混叠后的信号频谱与原始信号频谱发生了重叠，使得无法准确还原原始信号。

可以：使用抗混叠滤波器：在进行信号采样之前，使用抗混叠滤波器对信号进行预处理。抗混叠滤波器会在采样之前滤除信号中高于采样频率一半的频率成分，以避免频谱混叠。

8.时域频域中连续性与周期性的对应关系？

答：①连续非周期信号：频域也是连续、非周期的
②连续周期信号：频域是非周期、离散的
③离散非周期信号：频域是周期、连续的
④离散周期信号：频域是周期、离散的

可以看出一个特点：时域与频域的连续性与周期性，是相对且相反的。*
时域——频域
周期——离散
非周期——连续
连续——非周期
非连续——周期

9.DTFT、DFT的区别？————DFT是DTFT基础上对频域进行采样得到的。

答：DTFT是离散时间傅里叶变换，它的时域是离散的，但是频域是连续的。
DFT是离散傅里叶变换，它的时域和频域都是离散的。

这个图我觉得是解释DFT和DTFT最好的图。
我们知道，当信号复杂、量大时，人算不如计算机计算，然鹅计算机只能处理数字信号，那么我们必须把模拟信号变为数字信号。

首先来说图（1）和图（2），对于一个模拟信号，如图(1)所示，要分析它的频率成分，必须变换到频域，这是通过傅立叶变换即FT(Fourier Transform)得到的，于是有了模拟信号的频谱，如图(2)；注意1：时域和频域都是连续的！

但是，计算机只能处理数字信号，首先需要将原模拟信号在时域离散化，即在时域对其进行采样。我们找到一种采样脉冲序列如图(3)所示，该采样序列的频谱如图(4)，可见它的频谱也是一系列的脉冲。

在时域对模拟信号和采样序列进行相乘，(1)×(3)后可以得到离散时间信号x[n]，如图(5)所示；
时域的相乘相当于频域的卷积，那么频域上，图(2)与图(4)进行卷积，会在各个脉冲点处出现镜像，于是得到图(6)，它就是图(5)所示离散时间信号x[n]的DTFT，即离散时间傅立叶变换

这里强调的是“离散时间”四个字。注意时域是离散的，而频域依然是连续的。

经过上面两个步骤，我们得到的信号依然不能被计算机处理，因为频域既连续，又周期。我们自然就想到，既然时域可以采样，为什么频域不能采样呢？这样不就时域与频域都离散化了吗？

没错，接下来对频域在进行采样，频域采样信号的频谱如图(8)所示，它的时域波形如图(7)。

现在我们进行频域采样，即频域相乘，图(6)×图(8)得到图(10)，那么根据性质1，这次是频域相乘，时域卷积
图(5)和图(7)卷积得到图(9)，不出所料的，镜像会呈周期性出现在各个脉冲点处。
我们取图（10）周期序列的主值区间，并记为X(k)，它就是序列x[n]的DFT，即离散傅立叶变换。

可见，DFT只是为了计算机处理方便，在频率域对DTFT进行的采样并截取主值而已。有人可能疑惑，对图(10)进行IDFT，回到时域即图(9)，它与原离散信号图(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的周期性延拓！没错，因此你去查找一个IDFT的定义式，是不是对n的取值区间进行限制了呢？这一限制的含义就是，取该周期延拓序列的主值区间，即可还原x[n]！

FFT呢？FFT的提出完全是为了快速计算DFT而已，它的本质就是DFT！我们常用的信号处理软件MATLAB或者DSP软件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。

DFS,是针对时域周期信号提出的，如果对图(9）所示周期延拓信号进行DFS，就会得到图(10)，只要截取其主值区间，则与DFT是完全的一一对应的精确关系。这点对照DFS和DFT的定义式也可以轻易的看出。因此DFS与DFT的本质是一样的，只不过描述的方法不同而已。

10.DTFT存在的条件是什么？

答：与FT类似，FT是满足绝对可积，DTFT是满足绝对可和。

11.DTFT和Z变换的关系？

答：DTFT是Z变换在单位圆上的特殊情况。当Z变换的复变量z在单位圆上，即|z|=1时，Z变换就变成了DTFT。在单位圆上，Z变换的频率响应与DTFT的频率响应是相等的。

只有序列的Z变换的收敛域包含单位圆时，才满足DTFT存在的条件。

因此，可以说DTFT是Z变换在单位圆上的一个特例。DTFT在频域上描述了离散时间信号的频率特性，而Z变换则是在复变量域上描述了离散时间系统的输入和输出之间的关系。

12.DTFT的缺陷是什么？为什么要用DFT？

答：如果输入序列是无限长序列，用DTFT分析时每一个频谱都会用的无限次加法与乘法计算，这意味着计算量过大，且没有足够容量存储数据，所以对于无限长序列，基本不可能实现DTFT。

我们进行DFT处理时，只计算一个频率周期内N个取样值的DFT，使得信号的频域是有限长，并且离散化，从而加大信号处理的速度。

12.5 既然DFT频域也要采样，那频域采样定理是什么？

答：频域采样会对时域造成周期延拓，所以只有当采样点数N大于序列长度M时，抽样后的频谱才能无失真的还原出原有序列。

13.线性卷积（卷积和）、N点圆周卷积（循环卷积）、N点周期卷积的区别？

答：
（1）线性卷积，也叫卷积和，针对的是两个长度不一样的非周期序列，卷积后序列长度为M+N-1。
（2）循环卷积（圆周卷积），针对的是两个长度不一样的序列，如果长度不一样，要对较短的补零，补到均为N点。然后进行周期延拓，将有限长序列变为周期序列，再进行反褶、取主值区间、移位相加。注意：将有限长序列进行周期延拓后的卷积，就叫周期卷积，而圆周卷积是周期卷积的结果取主值区间，所以结果是一个有限长非周期序列。
（3）周期卷积：将有限长序列进行周期延拓后的卷积，就叫周期卷积，结果也是周期序列。

14.为什么要引入快速傅里叶变换FFT？

答：（1）首先，DFT的运算量大，计算N次需要N^2 次复数乘法和N（N-1)次复数加法。
传统的DFT算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N是输入序列的长度。这意味着当输入序列长度较大时，DFT的计算开销非常大，限制了实时和高效的信号处理应用。
（2）FFT是一种基于分治法（divide-and-conquer）思想的快速计算DFT的算法。它通过将DFT的计算拆分成多个较小的子问题，并利用对称性和周期性的特点，大大减少了计算的复杂度。FFT算法的时间复杂度为O(NlogN)，比传统DFT算法快速很多，特别适用于大规模信号处理和频谱分析。

15.基于时间的DIT-FFT的原理是什么？

答：基于时间的FFT是将长序列按照奇偶分成两个短的序列，
基于时间的FFT的原理如下：

输入信号：给定长度为N的离散时间序列x(n)，其中0 ≤ n < N。

分解步骤：将输入序列x(n)分解为偶数索引和奇数索引的两个子序列。令x_e(n)表示偶数索引的子序列，x_o(n)表示奇数索引的子序列。

递归运算：对子序列x_e(n)和x_o(n)分别进行基于时间的FFT的递归运算。递归的终止条件是子序列的长度为1，此时直接返回该子序列。

融合步骤：将递归运算得到的结果合并为整体的FFT结果。对于每一个k（0 ≤ k < N/2），使用以下公式计算FFT结果X(k)：

X(k) = X_e(k) + W_N^k * X_o(k)

其中，X_e(k)和X_o(k)分别是子序列x_e(n)和x_o(n)的FFT结果，W_N^k是旋转因子，计算公式为：

W_N^k = e^(-j * 2π * k / N)

重排结果：按照正确的顺序重排FFT结果，使得频率从0到N-1。

以N=8的序列为例，分解为2个4点的DFT，然后做4次蝶形运算即可求出所有8个点的DFT的值。

16.FFT的复数乘法和复数加法的次数？

答：FFT的复数乘法次数：N/2 ✖logN和复数加法的次数：N logN
DFT的复数乘法次数：N^2和复数加法的次数：N（N-1）

17.FFT是怎么简化DFT运算量的？

答：基2的FFT，是指将N点的DFT序列不断分解为点数更小的DFT，利用旋转因子的对称性和周期性简化计算，当N是2的m幂次时，可以画出m次蝶形图，递归运算。时域奇偶分组，频域前后分组，将长序列DFT计算分解为短序列的DFT计算。

18.数字滤波器分为IIR（无限长冲激响应型）和FIR（有限长冲激响应型），那么介绍一下这两种类型？

IIR系统：单位冲激响应是无限长度序列，由于系统函数既有零点又有极点，所以一定是递归结构。

FIR系统：单位冲激响应是有限长，非递归型。

19.IIR滤波器的设计步骤？

答：一：确定数字滤波器的通带截止频率、阻带截止频率、3分贝截止频率（幅值降到根号2/2，等指标，选择一个合适的模拟滤波器的设计指标

二、对原型模拟滤波器进行归一化处理，通带截止频率设置为1。

三：利用双线性变换法或者脉冲响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器。

20.双线性变换法和冲激响应不变法的原理和他们的优缺点。

答：
双线性变换法是一个S平面到Z平面的单值映射。将非带限的模拟滤波器通过非线性映射为最高角频率为π/T的带限模拟滤波器。其优点是不会产生频谱混叠，缺点是由于非线性映射会导致幅度失真。

脉冲响应不变法是利用时域逼近的思想，利用数字滤波器的单位抽样响应去模仿模拟滤波器的单位抽样响应。其优点是设计出来的数字滤波器具有线性相位，不会产生失真。缺点是若模拟滤波器的频率响应不是带限信号，则设计出来的数字滤波器的频率响应会有混叠，只能用于设计带限的模拟滤波器。

21.巴特沃斯滤波器和切比雪夫滤波器？

答：巴特沃斯滤波器：通带内最平坦，但在过渡带和阻带上的频率响应相对较慢。
切比雪夫滤波器：通带内具有等波纹特性，即在通带上出现波纹，但在过渡带和阻带上具有较高的抑制能力。

21.FIR滤波器的设计步骤？