伴随矩阵和原矩阵的关系＋AB＝0+由伴随矩阵求原矩阵(当伴随矩阵的秩不为零时(A=(\frac{A*}{|A|})^{-1}))

伴随矩阵和原矩阵的关系

r(A)|r(A*)
|:----------- :-------------:-------------:-------------:-------------:-------------:-------------
n|n|
n-1|1|

r(A)=n，则|A|≠0，|A||A*|=1，|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n
r(A)=n-1，则rank A*>=1，AA*=0，rank(A*)=1
r(A)

---

$$A{A}^{\ast }=|A|E,对式子两边取行列式，可得|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$
如果AB=O,那么r(A)+r(B)<=n (n为A的列数,B的行数)

• 假设特情况下B为A*，因为AA*=|A|E，所以AA*=|A|E=O；所以A*的列向量都是AX=0的解。
  所以：A*的列向量可由AX=0的基础解系线性表示。
  所以r(A*)<=AX=0的基础解系的秩=n-r(A)。故有r(A)+r(A*)<=n.
  然后可推广到一般情况：若AB=0,A,B分别是m行n列,n行s列矩阵，则r(A)+r(B)<=n。证明如下：

• 所以B的列向量都是AX=0的解。
  所以：B的列向量可由AX=0的基础解系线性表示。
  所以r(B)<=(AX=0的基础解系的秩)=n-r(A)。故有r(A)+r(B)<=n.

更进一步的R(AB)+n＞=R(A)+R(B)

---

由伴随矩阵求原矩阵(当伴随矩阵的秩不为零时)

$$A=(\frac{A\ast }{|A|}{)}^{-1}=|A{|}^{\ast }(A^{\ast }{)}^{-1}=\sqrt[n-1]{|A{|}^{\ast }}(A^{\ast }{)}^{-1}$$
伴随矩阵计算：代数余子式矩阵–的–转置