非线性系统【七】|输入-输出稳定性

非线性系统【七】|输入-输出稳定性

$\mathcal{L}$稳定性

定义5.1

如果存在定义在$[0,\infty )$上的$\mathcal{K}$类函数$\alpha$和非负常数$\beta$，对于所有的$u\in {\mathcal{L}}_e^m$和$\tau \in [0,\infty )$满足
$$||(Hu{)}_{\tau }|{|}_{\mathcal{L}}\le \alpha (||u|{|}_{\mathcal{L}})+\beta$$
则映射${\mathcal{L}}_e^m\to {\mathcal{L}}_e^q$是稳定的。如果存在非负常数$\gamma$和$\beta$，对于所有的$u\in {\mathcal{L}}_e^m$和$\tau \in [0,\infty )$满足
$$||(Hu{)}_{\tau }|{|}_{\mathcal{L}}\le \gamma (||u|{|}_{\mathcal{L}})+\beta$$
则称该映射是优先增益$\mathcal{L}$稳定的

定义5.2

如果存在正常数$r$，使得对所有$u\in {\mathcal{L}}_e^m，su{p}_{0\le t\le \tau }||u(t)||\le r$，不等式$||(Hu{)}_{\tau }|{|}_{\mathcal{L}}\le \alpha (||u|{|}_{\mathcal{L}})+\beta$或不等式$||(Hu{)}_{\tau }|{|}_{\mathcal{L}}\le \gamma (||u|{|}_{\mathcal{L}})+\beta$成立，则映射${\mathcal{L}}_e^m\to {\mathcal{L}}_e^q$为小信号$\mathcal{L}$稳定的（或小信号有限增益$\mathcal{L}$稳定的）。

定理 5.1

考虑系统 $\dot{x}=f(t,x,u),x(0)=x_0,y=h(t,x,u)$, 取 $r>0,r_u>0$, 使得 $\{\Vert x\Vert ⩽r\}\subset D,\left\{\Vert u\Vert ⩽r_u\right\}\subset D_u$ 。假设

• $x=0$ 是系统$\dot{x}=f(t,x,0)$的指数稳定平衡点, 且存在李雅普诺夫函数 $V(t,x)$, 对所有 $(t,x)\in$ $[0,\infty )\times D$ 及正常数 $c_1,c_2,c_3$ 和 $c_4$, 满足
  c 1 ∥ x ∥ 2 ⩽ V ( t , x ) ⩽ c 2 ∥ x ∥ 2 ∂ V ∂ t + ∂ V ∂ x f ( t , x , 0 ) ⩽ − c 3 ∥ x ∥ 2 ∥ ∂ V ∂ x ∥ ⩽ c 4 ∥ x ∥ \begin{gathered} c_1\|x\|^2 \leqslant V(t, x) \leqslant c_2\|x\|^2 \\ \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial x} f(t, x, 0) \leqslant-c_3\|x\|^2 \\ \left\|\frac{\partial V}{\partial x}\right\| \leqslant c_4\|x\| \end{gathered} c1​∥x∥2⩽V(t,x)⩽c2​∥x∥2∂t∂V​+∂x∂V​f(t,x,0)⩽−c3​∥x∥2 ​∂x∂V​ ​⩽c4​∥x∥​
• 对于所有 $(t,x,u)\in [0,\infty )\times D\times D_u$ 和非负常数 $L,{\eta }_1$ 和 ${\eta }_2,f$ 和 $h$ 满足不等式
  $$\begin{array}{c}\Vert f(t,x,u)-f(t,x,0)\Vert ⩽L\Vert u\Vert \\ \Vert h(t,x,u)\Vert ⩽{\eta }_1\Vert x\Vert +{\eta }_2\Vert u\Vert \end{array}$$
  则对满足 $\Vert x_0\Vert ⩽r\sqrt{c_1/c_2}$ 的每个 $x_0$, 系统 $\dot{x}=f(t,x,u),x(0)=x_0,y=h(t,x,u)$是小信号有限增益 ${\mathcal{L}}_p$ 稳定的, $p\in [1,\infty ]$ 。特别地, 当每个 $u\in {\mathcal{L}}_{pe}$ 满足 ${\sup }_{0⩽t⩽\tau }\Vert u(t)\Vert ⩽\min \left\{r_u,c_1{c}_{3}r/\left(c_2{c}_{4}L\right)\right\}$ 时, 对于所有 $\tau \in [0,\infty )$, 输出 $y(t)$ 满足
  其中 $\gamma ={\eta }_2+\frac{{\eta }_1{c}_2{c}_{4}L}{c_1{c}_3},\beta ={\eta }_1\Vert x_0\Vert \sqrt{\frac{c_2}{c_1}}\rho ,$ 其中 $\rho =\{\begin{array}{ll}1,& p=\infty \\ {\left(\frac{2c_2}{c_{3}p}\right)}^{1/p},& p\in [1,\infty )\end{array}$
  此外, 如果原点是全局指数稳定的, 且所有假设都全局成立 $\left(D=R^n,D_u=R^m\right)$, 则对每个 $x_0\in R^n$, 系统 $\dot{x}=f(t,x,u),x(0)=x_0,y=h(t,x,u)$ 为有限增益 ${\mathcal{L}}_p$ 稳定的, $p\in [1,\infty ]$ 。

推论 5.1

假设在 $(x=0,u=0)$ 的某个邻域内, 函数 $f(t,x,u)$ 连续可微, 雅可比矩阵 $[\partial f/\partial x]$ 和 [ $\partial f/\partial u]$ 有界, 对 $t$ 一致, 且 $h(t,x,u)$ 满足式 (5.10)。如果原点 $x=0$ 是系统(5.5) 的指数 稳定平衡点, 则存在常数 $r_0>0$, 使得对于每个满足 $\Vert x_0\Vert <r_0$ 的 $x_0$, 系统 (5.3) (5.4) 是小信号有限增益 ${\mathcal{L}}_p$ 稳定的, $p\in [1,\infty ]$ 。进一步, 如果所有假设全局成立, 且原点 $x=0$ 是系统 (5.5) 的指数稳定平衡点, 则对每个 $x_0\in R^n$, 系统 (5.3) $\sim (5.4)$ 为有限增益 ${\mathcal{L}}_p$ 稳定的, $p\in [1,\infty ]$ 。
对于线性时不变系统
$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =Ax+Bu,\\ y& =Cx+Du\end{array}$$
定理 5.1 的全局稳定性条件与 $A$ 为赫尔维茨矩阵的条件是等价的。因此对线性系统有如下 结论。

推论 5.2

如果 $A$ 是赫尔维茨矩阵, 则线性时不变系统 $(5.14)\sim (5.15)$ 是有限增益 ${\mathcal{L}}_p$ 稳定 的, $p\in [1,\infty ]$ 。而且当
$$\gamma =\Vert D{\Vert }_2+\frac{2{\lambda }_{\max }^2(P)\Vert B{\Vert }_2\Vert C{\Vert }_2}{{\lambda }_{\min }(P)},\beta =\rho \Vert C{\Vert }_2\Vert x_0\Vert \sqrt{\frac{{\lambda }_{\max }(P)}{{\lambda }_{\min }(P)}}$$
时,式(5.11)成立。其中
$$\rho =\{\begin{array}{ll}1,& p=\infty \\ {\left(\frac{2{\lambda }_{\max }(P)}{p}\right)}^{1/p},& p\in [1,\infty )\end{array}$$
$P$ 是李雅普诺夫方程 $PA+A^{\mathrm{T}}P=-I$ 的解。

定理 5.2

考虑系统 $(5.3)\sim (5.4)$, 取 $r>0$, 使得 $\{\Vert x\Vert ⩽r\}\subset D$ 。假设

• $x=0$ 是系统 $(5.5)$ 的一致渐近稳定平衡点, 且存在李雅普诺夫函数 $V(t,x)$, 对于所有 $(t,x)\in [0,\infty )\times D$ 和 $\mathcal{K}$ 类函数 ${\alpha }_1$ 到 ${\alpha }_4$, 满足
  α 1 ( ∥ x ∥ ) ⩽ V ( t , x ) ⩽ α 2 ( ∥ x ∥ ) ∂ V ∂ t + ∂ V ∂ x f ( t , x , 0 ) ⩽ − α 3 ( ∥ x ∥ ) ∥ ∂ V ∂ x ∥ ⩽ α 4 ( ∥ x ∥ ) \begin{gathered} \alpha_1(\|x\|) \leqslant V(t, x) \leqslant \alpha_2(\|x\|) \\ \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial x} f(t, x, 0) \leqslant-\alpha_3(\|x\|) \\ \left\|\frac{\partial V}{\partial x}\right\| \leqslant \alpha_4(\|x\|) \end{gathered} α1​(∥x∥)⩽V(t,x)⩽α2​(∥x∥)∂t∂V​+∂x∂V​f(t,x,0)⩽−α3​(∥x∥) ​∂x∂V​ ​⩽α4​(∥x∥)​
• 对于所有 $(t,x,u)\in [0,\infty )\times D\times D_u,\mathcal{K}$ 类函数 ${\alpha }_5$ 到 ${\alpha }_7$ 和非负常数 $\eta ,f$ 和 $h$ 满足不等式
  $$\begin{array}{c}\Vert f(t,x,u)-f(t,x,0)\Vert ⩽{\alpha }_5(\Vert u\Vert )\\ \Vert h(t,x,u)\Vert ⩽{\alpha }_6(\Vert x\Vert )+{\alpha }_7(\Vert u\Vert )+\eta \end{array}$$
  则对于每个满足 $\Vert x_0\Vert ⩽{\alpha }_2^{-1}\left({\alpha }_1(r)\right)$ 的 $x_0$, 系统 $(5.3)\sim (5.4)$ 是小信号 ${\mathcal{L}}_{\infty }$ 稳定的。

推论 5.3

假设在 $(x=0,u=0)$ 的某个邻域内, 函数 $f(t,x,u)$ 连续可微, 雅可比矩阵 $[\partial f/\partial x]$ 和 $[\partial f/\partial u]$ 有界, 对 $t$ 一致, 且 $h(t,x,u)$ 满足式 (5.20)。如果无激励系统 (5.5) 在原点 $x=0$ 有一致渐近稳定的平衡点, 则系统 (5.3) $\sim (5.4)$ 是小信号 ${\mathcal{L}}_{\infty }$ 稳定的。
为推广定理 5.2 的证明以证明 ${\mathcal{L}}_{\infty }$ 稳定性, 需要证明对任意初始状态 $x_0\in R^n$ 和任意有界输入, 式 (5.21) 成立。如 4.9 节所述, 当定理 5.2 全局满足时, 甚至当系统 (5.5) 的原点全局 一致渐近稳定时, 此不等式也不能自行成立。但它仍遵循系统 (5.3) 的输人-状态稳定性, 可 由定理 4.19 验证。

定理 5.3

考虑系统 (5.3) $(5.4),D=R^n,D_u=R^m$ 。假设

• 系统 (5.3) 是输入-状态稳定的。
• 对于所有 $(t,x,u)\in [0,\infty )\times R^n\times R^m,\mathcal{K}$ 类函数 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 以及非负常数 $\eta ,h$ 满足不等式
  $$\Vert h(t,x,u)\Vert ⩽{\alpha }_1(\Vert x\Vert )+{\alpha }_2(\Vert u\Vert )+\eta$$
  则对每个 $x_0\in R^n$, 系统 $(5.3)\sim (5.4)$ 是 ${\mathcal{L}}_{\infty }$ 稳定的。

${\mathcal{L}}_2$增益

定理 5.4

考虑线性时不变系统
$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =Ax+Bu\\ y& =Cx+Du\end{array}$$
其中 $A$ 为赫尔维茨矩阵。设 $G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$, 则系统的 ${\mathcal{L}}_2$ 增益为 ${\sup }_{\omega \in R}$ $\Vert G(j\omega ){\Vert }_2{}^{(3)}$ 。

定理 5.5

考虑非线性时不变系统
$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =f(x)+G(x)u,x(0)=x_0\\ y& =h(x)\end{array}$$
其中 $f(x)$ 和 $G(x)$ 是局部利普希茨的, $h(x)$ 在 $R^n$ 上连续。 $G$ 为 $n\times m$ 矩阵, $h:R^n\to R^q$ 。函 数 $f$ 和 $h$ 在原点为零, 即 $f(0)=0,h(0)=0$ 。设 $\gamma$ 为正数, 并假设对于所有 $x\in R^n$, 存在一 个连续可微的半正定函数 $V(x)$, 满足不等式
$$\mathcal{H}(V,f,G,h,\gamma )\stackrel{\text{ def }}{=}\frac{\partial V}{\partial x}f(x)+\frac{1}{2{\gamma }^2}\frac{\partial V}{\partial x}G(x)G^{\mathrm{T}}(x){\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)}^{\mathrm{T}}+\frac{1}{2}{h}^T(x)h(x)⩽0$$
则对于每个 $x_0\in R^n$, 系统 $(5.26)\sim (5.27)$ 为有限增益 ${\mathcal{L}}_2$ 稳定的, 且其 ${\mathcal{L}}_2$ 增益小于或等 于 ${\gamma }_{\circ }$

推论 5.4

假设在包含原点的定义域 $D\subset R^n$ 内定理 5.5 的假设条件都成立, 则对任意 $x_0\in D$ 和任意 $u\in {\mathcal{L}}_{2e}$, 方程 $(5.26)$ 的解对所有 $t\in [0,\tau ]$ 都满足 $x(t)\in D$, 则有
$${\Vert y_{\tau }\Vert }_{{\mathcal{L}}_2}⩽\gamma {\Vert u_{\tau }\Vert }_{{\mathcal{L}}_2}+\sqrt{2V\left(x_0\right)}$$
当 $\Vert x_0\Vert$ 和 ${\sup }_{0⩽t⩽\tau }\Vert u(t)\Vert$ 都充分小时, $\dot{x}=f(x)$ 原点的渐近稳定性, 保证了方程 (5.26) 的解 $x(t)$ 保持在原点的某个邻域内。这一结果将在下面的引理中用于证明小信号 ${\mathcal{L}}_2$ 稳定性。

引理 5.1

假设定理 5.5 的假设条件在包含原点的定义域 $D\subset R^n$ 内成立, $f(x)$ 是连续可微的, 且 $x=0$ 是 $\dot{x}=f(x)$ 的一个渐近稳定平衡点。那么存在 $k_1>0$, 使得对每个 $x_0\left(\Vert x_0\Vert ⩽k_1\right)$, 系统 (5.26) (5.27) 是小信号有限增益 ${\mathcal{L}}_2$ 稳定的, 其 ${\mathcal{L}}_2$ 增益小于或等于 ${\gamma }_{\text{。 }}$

引理 5.2

假设定理 5.5 的假设条件在包含原点的定义域 $D\subset R^n$ 内满足, $f(x)$ 是连续可微的, 且除了平凡解 $x(t)\equiv 0$ 外, 方程 $\dot{x}=f(x)$ 在 $S=\{x\in D\mid h(x)=0\}$ 内没有解。则 $\dot{x}=f(x)$ 的原点是渐近稳定的, 且存在 $k_1>0$, 使得对每个 $x_0,\Vert x_0\Vert ⩽k_1$, 系统 (5.26) $\sim (5.27)$ 是 小信号有限增益 ${\mathcal{L}}_2$ 稳定的, 其 ${\mathcal{L}}_2$ 增益小于或等于 ${\gamma }_{\text{。 }}$

小增益定理

定理5.6

再前面的假设条件下，如果${\gamma }_1{\gamma }_2<1$，则反馈连接是有限增益$\mathcal{L}$稳定的。