牛顿-莱布尼兹公式的几何意义-微分和积分的几何关系

公司办公室上班，工作累了可以跟同事聊聊天，下楼抽根烟，或者仅仅就是出去溜达一圈。然而soho办公却不可能。屋内抽烟是被禁止的，下楼抽烟显得古怪又麻烦…

买了本书，《什么是数学》，就是这本：
https://book.douban.com/subject/1320282/
说实话，写得一般，但soho办公期间没事翻翻，也不错。

写这篇文章是因为读书期间正好看到了知乎上的一个问题：
https://www.zhihu.com/question/38798146
问的是，微分和积分，在几何上是如何互逆的，其实也就是问，微分和积分在其几何意义上有什么关系。这个问题非常好。

我没能给出直接的证明，但是它们之间的几何关系确实也不难理解。

教科书上总是第一时间把微分，导数这种概念在几何上表示成切线的斜率，而把积分表示成面积。但正是这样的先入为主的灌输，让学生们很难理解这背后到底有什么关系。

要想理解微分和积分的几何关系，还要看牛顿是怎么想的。其实，微分和积分按照下面的 物理意义 理解更加容易见其本质：

• 微分：这是一个瞬时的“点量”，即“x率”，表现一种趋势。
• 积分：这是一个时间延展的“积累量”，表示点量积累的效果。

牛顿希望得到速度和距离之间的数学关系，很显然，他得到了， 速度在时间上积累成了距离。

$\int v(t)dt=S(t)$

按照教科书的理解，$v(t)$是一个斜率，$dt$是一个小量，而$S(t)$是一个面积，用一个斜率乘以一个小量，怎么得到的面积？这似乎难以理解…

但是，按照物理意义去思考，就很显然了：

• 速度在时间上的“效果”就是距离。
• 距离因为物体在某时间点拥有速度而产生。

按照这种 作用 和 效果 的物理解释，牛顿-莱布尼兹公式是显而易见的：

• 导数的积累效应导致了原函数的差值：
  ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

现在我们把这个物理意义套在面积上，问， “面积是如何产生的？”

这是一个升维的过程， “面积是线段平移产生的！” 短线段平移产生的面积小，长线段平移产生的面积大， 具体的面积到底有多大，取决于在平移过程中线段的长短。

• 积分：线段平移成面积。
• 导数/微分：平移成面积过程中的线段长度。

积分是一个 时间段内升维 的过程，微分则是一个 特定时间点降维 的结果。高维本来就比低维多一个维度，这就是为什么积分考虑的是时间段而微分考虑的是时间点了。

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至于为什么导数总是被看作是斜率，那纯粹是因为导数是作用于一条曲线的，而 “求任意曲线在任意一点的切线” 这种问题纯粹是一个数学问题，而不存在物理意义，所以很难对它进行逆操作。斜率仅仅是一个数值，斜率的积累效应是什么？是经理吗？不，是皮鞋。

高数，数分等教科书不可能去大讲特讲一个式子的物理意义，没有物理意义的式子或者图形就是纯数学的，而纯数学表现的是公理体系，逻辑以及技巧，数学问题作为其它学科的工具只要是可解的，那么对其它学科就是帮助，至于解的过程，它并非一定是物理的，但必须是数学的。

我的观点，数学的首要地位是其它学科的工具，否则它就是一场游戏。没有什么数学问题是凭空产生的，它一定拥有某种产生它的物理的，或者逻辑的背景。

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我们经常在教科书中看到以下论述：

• 中国古代的xx著作里描述的yy方法，比欧洲的zz早了n年。

其中，这些yy几乎都是偏 算法 的。读了《什么是数学》之后，答案是令人信服的：

…
由于较早地发现了与“不可公度”的量有关的这些困难，使希腊人没能发展早已为东方所掌握的数字计算的技术。相反，他们却迫使自己钻进了纯粹公理几何的丛林之中。于是科学史上出现了一个奇怪的曲折，…几乎两千年来，希腊几何的 传统力量 推迟了必然会产生的数的概念和代数运算的进步，而它们后来构成了近代科学的基础。

看来， 所谓的 传统力量 的僵化造成严重的后果，也并非我国独有：

• 希腊在这方面比中国的明清民国共和国，早了2000多年！

…

在另一本书《数学思想要义》(这本书不好，不建议阅读)的第三章开头，另一位中国的作者印证了上面的引用：

“方程和算法”是中国古代数学存在的一个悠久的价值观和传统。…
…
中国数学的“算法”传统在今天的信息时代以及未来的人工智能时代会发扬光大。

相比较而言，对于方程的研究，欧洲数学中的价值观和传统是更注重解的一般准确的“表达式”以及表达式中的“结构”。…

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浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。
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