高等代数理论基础45：线性变换的定义

线性变换的定义

线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象,事物之间的联系反映为线性空间的映射

线性空间V到自身的映射称为V的一个变换,其中线性变换是最基本的

定义

定义：数域P中,线性空间V的一个变换,若有

则称为线性变换

注：

1.表示元素在变换下的像

2.线性变换保持向量的加法和数量乘法

单位变换

线性空间V中定义变换,,是线性变换,称为恒等变换或单位变换

零变换

线性空间V中定义变换,,是线性变换,称为零变换

数乘变换

V是数域P上的线性空间,,定义变换,是线性变换,称为由数k决定的数乘变换

k=1时,即为恒等变换

k=0时,即为零变换

性质

1.设是V的线性变换,则

2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变,即

若

则

3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组,也可把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组,如零变换

例

1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间,将平面绕坐标原点逆时针旋转角,即一个线性变换,用表示

若在直角坐标系下坐标为,则像的坐标为

注：空间中绕轴的旋转也是一个线性变换

2.设是几何空间中一固定的非零向量,将每个向量变到它在上的内射影的变换是一个线性变换,以表示

即,其中表示内积

3.在线性空间或中,求微商是一个线性变换,

4.定义在闭区间上全体连续函数组成实数域上一线性空间

在该空间中,变换是一线性变换