任意多边形面积计算

问题：在二维平面坐标系中，对于任意一个多边形，已知其各个顶点坐标为，计算该多边形的面积。

看到“坐标”和“面积”这两个词的时候，我首先联想到的是上一篇刚写的博客内容：向量的外积。那么我们试着从向量的外积切入，看能不能解答计算面积的问题。

向量外积的定义：

如果两个向量

则=

为了便于计算推导，我们将外积定义公式再进一步演化一下，如下：

=

=

=

降维到二维平面上，我们把，得到

==，其中分别表示x轴，y轴，z轴的单位向量。

因为第3列中，除了第1行其它行都是0，所以我们根据行列式的第3列展开，得到

===，其中表示的代数余子式。

 所以我们在二维平面中计算两个向量的外积时，可以通过计算两个向量的坐标有序数组的行列式来求值。在上一篇博客中，我们已经验证，两个向量的外积的值的绝对值等于原点和三个点所围成三角形的面积的2倍。

有了这个基础之后，我们再回到问题中来。

 问题描述的是多边形，我们先从最简单的多边形上来找思路：三角形，如下图：

上图中三角形面积等于

 我们使用向量外积来带入上面公式中的各个三角形面积，可得

=

 注意：向量进行叉乘时，所得结果会有正有负，正负代表着方向，满足右手法则。

计算完三角形，我们推进一步到四边形。

四边形就变得稍微复杂了一点，因为四边形有所谓的凸边形和凹边形，我们尝试一下这两种情景是否能有一样的计算思路，即凹凸无感。我们先将两种图形分开计算。

凸边形：

=

= 

凹边形：

 

= 

= 

发现上下两个结果的公式是统一的，也就是四边形的凸边形和凹边形，使用向量外积进行面积计算时，计算公式是一致的，凹凸无感。

现在我们从三角形到四边形都验证了一个解题方法，就是：

多边形各个顶点与原点所组成的向量，按照逆时针顺序（或者顺时针也可以），依次前后两个向量作叉乘求外积，尾首向量也得叉乘，（换一种说法，就是说图形中每条边相连的两个端点之间需要进行首尾叉乘），然后将所有外积相加求和所得的二分之一的绝对值，就是这个多边形的面积。即

=

这个计算方法是否可以应用到所有多边形？我们通过数学归纳法来求证一下。

假设n条边时，=是成立的，那么此时在此基础上增加一个点，变成n+1条边时

如上图，我们需要增加两条边（图中黄色部分），去除这条边（图中红色虚线），那么

= +

= +

  （注：此处对应着增加两条边和去除一条边）

=

最终结果是满足我们上面总结的计算规则的。至此，我们从理论上得到了多边形面积的解法。

 那么接下来，我们就需要把这个计算方法移植到计算机上，让计算机替我们执行计算，所以我们需要继续把计算公式演化成计算机方便计算的形式。

= 

=

=

=

其中，当时，，即

最终，我们得到了上面的公式，就是著名的Shoelace Theorem鞋带定理。

 它有什么特点呢？我们借用一下网络上的图片，如下：

 

 因为这个公式的运算很像鞋带，所以被称为鞋带定理。

 有了鞋带定理，我们就可以轻松移植成代码了。

struct Point2d  
{  
    double x;  
    double y;  
    Point2d(double xx, double yy): x(xx), y(yy){}  
};  
   
//计算任意多边形的面积，顶点按照顺时针或者逆时针方向排列  
double ComputePolygonArea(const vector &points)  
{  
    int point_num = points.size();  
    if(point_num < 3)return 0.0;  
    double s = 0;  
    for(int i = 0; i < point_num; ++i)  
        s += points[i].x * points[(i+1)%point_num].y - points[i].y * points[(i+1)%point_num].x;  
    return fabs(s/2.0);  
}