灰色预测GM(1,1)

目录

 

一、灰色预测模型简介

 二、GM(1,1)灰色模型

 1、GM(1,1)模型预测方法

(1)原始数据(参考列)

(2)累加生成序列(Acumulated Generating Operator,1-AGO)

(3)生成均值数列

(4)建立灰微分方程

(5)利用最小二乘估计【2】中参数a,b

(5.1)

(5.2)构造

(6)求解方程【3】,得到预测方程

2、GM(1,1)模型的预测步骤

(1)数据的检验与处理

(2)建立模型

(3)检验预测值 

(3.1)残差检验

(3.2)级差比偏差检验

(4)预测预报公式​编辑【5】


 

一、灰色预测模型简介

灰色预测的主要特点就是模型使用的不是原始数据列,而是生成的数据序列。其核心是灰色模型(Grey Model,GM),即对原始数据作累加生成(累加或差分,都能弱化噪声)能得到近似指数规律再进行建模的方法。

优点:

  1. 所需数据少,一般只需要4个以上数据,能解决历史数据少,序列完整性和可靠性低的问题
  2. 利用微分方程来充分挖掘系统的本质,精度高
  3. 能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成序列
  4. 运算简便,易于检验,不考虑分布规律,不考虑变化趋势

缺点:

只适合短期预测,只适合指数增长的预测。

 二、GM(1,1)灰色模型

GM(1,1),表示模型是一阶微分方程,且只含一个变量的灰色模型。

 1、GM(1,1)模型预测方法

(1)原始数据(参考列)

395d613b27424b67bcecd4ac29185480.png

(2)累加生成序列(Acumulated Generating Operator,1-AGO)

b224fb93716f454ab9f5215f20dfd749.png

其中,灰色预测GM(1,1)_第1张图片显然,数列x(1)比数列x(0)光滑,弱化噪声。

(3)生成均值数列

0fc3d37a11674302a3b0314822781d13.png(进一步弱化噪声)

其中ad4b83d6a0704f9aa4f3fd4770d435c1.png

(4)建立灰微分方程

d2b1c854619e4f17a6d6216c07393957.png【1】

此方程白化为微分方程灰色预测GM(1,1)_第2张图片【2】

【1】的来源:x(1)是x(0)的累加,反过来,x(0)就是x(1)的差分,连续化就是导数,【1】中用z(1)而不直接用x(1),就是使数据进一步更光滑化,避免奇异值。可以利用曲线拟合来求a和b得值(就是利用最小二乘法)。用这个模型之前,最好绘制x(0),z(1)的散点图,看看大概情况。

(5)利用最小二乘估计【2】中参数a,b

灰色预测GM(1,1)_第3张图片【2】

c95a1424599c4352bc3b495798d3ed5a.png的观测值序列为x(0)(k),k=2,3,…,n;

【2】中x(1)(t)的观测值为z(1)(k),k=2,3,…,n;

(5.1)

把x(0),z(1)作为【2】的因变量y和自变量x,作回归拟合,得到a,b的估计值;

(5.2)构造

53ba49749d6f499791f4379a6b9b7b19.pngb0ce4926d4374618ac8c087f86431b74.png灰色预测GM(1,1)_第4张图片

根据最小二乘法,使得326f4526577a4b37984655c0936e4431.png达到最小的u的估计值为6695bb2447c84dfb98c4e612e5f5fd51.png求出a,b的估计值为4ae9885f60464e30a8e866dab6a0b248.png方程【2】变为灰色预测GM(1,1)_第5张图片

(6)求解方程【3】,得到预测方程

为了求【3】的特解,引入初值de8036a508764bf7b39542cae5f5f8a3.png确定特解。

【3】为一阶线性常系数微分方程,代入通解公式,代入定解条件,得灰色预测GM(1,1)_第6张图片

写成差分或者预测公式,为灰色预测GM(1,1)_第7张图片【4】k=0,1,2,…,n-1,…

2、GM(1,1)模型的预测步骤

(1)数据的检验与处理

设原始数列为31298b1c75594fa0a3c8a2b68d6f7f4e.png计算数列的级比

85d2e35b4e8542de9e703f5ac8539488.png

b8d5f61fd7284ca5964bf152f455f7db.png(一个包含1的区间)

则认为原始数列适合作GM(1,1)灰色预测,否则需要对x(0)作平移:6a424b0901e24e5cb453ac6de5ac2b18.png使得数列y(0)满足级比检验。

(2)建立模型

灰色预测GM(1,1)_第8张图片【4】

 当初始数列或平移后的数列满足级比检验后,可用结论【4】进行预测,1357431af445421997f69643a717f517.png

(3)检验预测值 

(3.1)残差检验

计算残差92f9dc4d117d4c7fa5f067defaace224.png

这里,f49e3622734d47829ebcf8a3f8d4b1a3.png

70cf86e9ad5449c3b671d5789d9e5c8d.png则认为预测达到一般要求;

4f4596dbaccb42f09deb298a35260ce0.png则认为预测达到较高要求;

(3.2)级差比偏差检验

首先用原始数据x(0)(k),x(0)(k-1)计算级比λ(k),再用发展系数a求出相应的级比偏差95c28d289f5e4dc7943415ba595f2cbc.png

若ρ(k)<0.2,认为预测达到一般要求;若ρ(k)<0.1,则认为预测达到较高要求。这里的a就是最小二乘估计的第一个参数,称为发展系数

(4)预测预报公式8e8866264dec4722bae09ce55c5a1d62.png【5】

 

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