计算机算法分析与设计（4）---矩阵连乘问题(含C++代码)

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一、概述

1.1 矩阵乘法

 1. 矩阵相乘，前一个矩阵的列数需等于后一个矩阵的行数。相乘得到的新矩阵，其行数由前一个矩阵决定，其列数由后一个矩阵决定。

 2. 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

• 单个矩阵是完全加括号的。
• 矩阵连乘积X是完全加括号的，则X可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积，即Y和Z的乘积并加括号，即 X=(YZ) ,Y和Z也是完全加括号的。
• 例如四个矩阵连乘积ABCD：(A((BC)D))、(A(B(CD)))、((AB)(CD))、(((AB)C)D)、((A(BC))D)。

 3.（1）由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。（2）若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

 4. 如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。

1.2 穷举法

 1. 穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。

 2. 算法复杂度分析：n个矩阵的连乘积，设不同的计算次序为P(n)。因每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题：(A1…Ak)(Ak+1…An)，故P(n)的递推式如下：

 3. 穷举法：计算量非常大，这种方案不可行。

1.3 动态规划

 1. 将矩阵连乘积Ai Ai+1 … Aj，简记为A[i:j] ，这里i≤j。考察计算A[i:j]的最优计算次序，设这个计算次序在矩阵Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k

 结论：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。

 2. 建立递归关系：

• 设计算A[i:j],1≤i≤j≤n,所需的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。
• 当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n。
• 当i

 综述，递推关系如下：

二、代码编写

2.1 例题分析

2.2 代码

#include
using namespace std;
#define N 7

//计算最优值 
void MatrixChain(int *p,int n,int m[][N],int s[][N]){
	for(int i=1;i<=n;i++){  //矩阵链中只有一个矩阵时，次数为0
		m[i][i]=0;
	}
	for(int r=2;r<=n;r++){
		for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
			int j=i+r-1; //矩阵链的末尾矩阵，注意r-1，因为矩阵链为2时，实际是往右+1
			m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]; 
			s[i][j]=i;
			
			for(int k=i+1;k < j;k++){  //这里面将断链点从i+1开始，可以断链的点直到j-1为止
                int t = m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(t<m[i][j]){
                   m[i][j] = t;
                   s[i][j] = k;
                }
            }
		}
		
	}
	
}

//构造最优解 
void Traceback(int i,int j,int s[][N]){
    if(i==j)       //回归条件
    {
        cout<<"A"<<i;
    }
    else       //按照最佳断点一分为二，接着继续递归
    {
        cout<<"(";
        Traceback(i,s[i][j],s);
        Traceback(s[i][j]+1,j,s);
        cout<<")";
    }
}
int main(){
	int p[N]={30,35,15,5,10,20,25};
	int m[N][N],s[N][N];
 
	MatrixChain(p,N-1,m,s); //N-1因为只有六个矩阵
	cout<<"矩阵的最佳乘积方式为: "; 
    Traceback(1,6,s);
	return 0;
}