线性代数(七) 矩阵分析
前言
从性线变换我们得出，矩阵和函数是密不可分的。如何用函数的思维来分析矩阵。
矩阵的序列
通过这个定义我们就定义了矩阵序列的收敛性。
研究矩阵序列收敛性的常用方法，是用《常见向量范数和矩阵范数》来研究矩阵序列的极限。
长度是范数的一个特例。事实上，Frobenius范数对应的就是长度。我们在线性空间中定义内积时，就是把这三条性质作为公理来定义内积的
收敛矩阵
在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列，关于这样的矩阵序列有如下概念和收敛定理：
r(A)是谱半径是一个矩阵的特征值绝对值中的最大值，用于描述矩阵的特征值的尺度大小。
矩阵级数
矩阵幂级数
- 根据幂级数收敛半径定理求出收敛半径r
- 根据《常见向量范数和矩阵范数》将矩阵A量化，看否在收敛区间中
- 即 a k = k = > r = lim k → ∞ ｜ a k + 1 a k ｜ = ｜ k + 1 k ｜ = 1 a_k= k => r= \lim\limits_{k \to \infty} ｜\dfrac{a_{k+1}}{a_k}｜=｜\dfrac{{k+1}}{k}｜= 1 ak=k=>r=k→∞lim｜akak+1｜=｜kk+1｜=1
- 由范式2得到 p ( A ) = 5 6 p(A)=\dfrac{5}{6} p(A)=65
Neumann级数
- 注1：假设E-A不可逆，那么E-A有0特征值，A的特征值为1。而A的谱半径小于1，矛盾，故E-A可逆
- 注2：A的谱半径小于1，由定理3可知A为收敛矩阵。那么 A k + 1 A^{k+1} Ak+1 就趋近于0（k趋于无穷）
矩阵函数
矩阵函数的计算
常用的有以下几种方法
待定系数法
- 求矩阵A的特征多项式 ∣ λ I − A ∣ |\lambda I - A| ∣λI−A∣
- 利用Hamilton-Cayley定理，求出A的一次性化零多项式 ψ ( A ) = 0 \psi(A)=0 ψ(A)=0
- 求解 f ( A ) f(A) f(A)多项式
- 当 A = λ ，即 ψ ( A ) = f ( A ) A=\lambda， 即\psi(A)=f(A) A=λ，即ψ(A)=f(A)
- sin的导注是cos
- e x e^x ex的导数是它本身的导数,因此， e ( 2 t ) 的导数是 2 e ( 2 t ) e^(2t) 的导数是 2e^(2t) e(2t)的导数是2e(2t)。
利用相似对角化
利用Jordan标准形
主要参考
《常见向量范数和矩阵范数》
《矩阵分析》
《7.2.3幂级数收敛半径定理》
《矩阵序列与矩阵级数》
《矩阵函数的常见求法》