卡特兰数

889. 满足条件的01序列 - AcWing题库 

给定 n个 0 和 n个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列有多少个。

输出的答案对 109+7 取模。

#include
#define IOS ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define endl '\n'
 
using namespace std;
 
typedef pair PII;
typedef long long ll;
typedef long double ld;

const int mod = 1e9 + 7;

ll qmi(ll a, ll k)
{
	ll res = 1;
	while(k)
	{
		if(k & 1)res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		k >>= 1;
	}
	return res;
}

int main()
{
	IOS
	int n;
	cin >> n;
	
	int a = n + n, b = n;
	
	ll x = 1, y = 1;
	for(int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++)
	{
		x = x * i % mod;
		y = y * j % mod;
	}
	ll res = x * qmi(y, mod - 2) % mod * qmi(n + 1, mod - 2) % mod;
	cout << res;
	
	return 0;
}

走到(n, n)的所有路径-中途x>y的所有路径

对于每一个中途x>y的路径都可以转化为到(n-1,n+1)的路径