李群和李代数以及李代数求导（扰动模型）

1、李群和李代数

三维旋转矩阵构成了特殊正交群SO（3），变换矩阵构成了特殊欧式群SE（3），表示如下：

但是什么是群呢？
群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。
我们把集合记作A，运算记作 ·，那么群可以记作G = (A, ·)。群要求这个运算满足以下几个条件：

简单验证可知旋转矩阵和变换矩阵都是群。

李群

李群是指具有连续（光滑）性质的群。SO(n) 和 SE(n)，它们在实数空间上是连续的。我们能够直观地想象一个刚体能够连续地在空间中运动，所以它们都是李群。由于 SO(3) 和 SE(3) 对于相机姿态估计尤其重要，所以主要讨论这两个李群。
先从较简单的 SO(3) 开始讨论，将发现每个李群都有对应的李代数。

2、李代数的引出

考虑任意旋转矩阵 R，满足：RR^T = I.
R是某个相机的旋转，它会随时间连续地变化，即为时间的函数：R(t)。

在其两边对时间求导，可得：

进一步整理，得到：

仔细观察上式，发现满足A = -A^T的形式，即：

记得上一节引入一个^符号，可以将一个向量转换为一个反对称矩阵。同理，对于任意反对称矩阵，我们也能找到一个与之对应的向量。所以有：

在等式两边右乘R(t)，由于R是正交阵，所以可以得到：
我们设 t₀=0 时的旋转矩阵 R(0)=I。按照导数定义，对R(t)在 0 附近进行一阶泰勒展开：

可以看到ϕ反映了 R 的导数性质，故称它在 SO(3) 原点附近的正切空间 (Tangent Space) 上。同时在 t0 附近，设 ϕ 保持为常数 ϕ(t₀) = ϕ₀。
这是一个关于 R 的微分方程，而且初始值 R(0) = I，解之，得：

在这个式子中我们发现，在t=0附近，只要知道某时刻的R，则会存在一个向量ϕ，他们满足这个矩阵指数关系！
它描述了 R 在局部的导数关系。与 R 对应的 ϕ 有什么含义呢？ϕ 正是对应到 SO(3) 上的李代数 so(3)

注意：SO(3) 对应的李代数是定义在 R³上的三维向量，我们记作 ϕ。根据前面的推导，每个 ϕ 都可以生成一个反对称矩阵：

总结：SO(3)对应的李代数so(3)表示为：

对于 SE(3)，它也有对应的李代数 se(3)。与 so(3) 相似，se(3) 位于 R⁶ 空间中：

3、为什么要用李代数

在 SLAM 中，除了位姿的表示之外，我们还要对它们进行估计和优化。因为在 SLAM 中位姿是未知的，而我们需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这样的问题。一种典型的方式是把它构建成一个优化问题，求解最优的 R, t，使得误差最小化。旋转矩阵自身是带有约束的（正交且行列式为 1）。它们作为优化变量时，会引入额外的约束，使优化变得困难。通过李群——李代数间的转换关系，我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题，简化求解方式。再有，优化问题是要误差函数对状态变量求导的，对于旋转矩阵的导数，由于其对加法不封闭，不好定义其导数，而李代数对加法封闭并且其用3个参数就可以表达旋转，6个量就能表达欧式变换，比旋转矩阵和变换矩阵的参数少得多。

4、李群与李代数间的指数映射

exp(ϕ^) 是如何计算的？它是一个矩阵的指数，在李群和李
代数中，称为指数映射（Exponential Map）。

任意矩阵的指数映射可以写成一个泰勒展开，但是只有在收敛的情况下才会有结果，其结果仍是一个矩阵。

同样，对 so(3) 中任意一元素 ϕ，我们也能按此方式定义它的指数映射：

由于 ϕ 是三维向量，我们可以定义它的模长和它的方
向，分别记作 θ 和 a，于是有 ϕ = θa。这里 a 是一个长度为 1 的方向向量。对于a^，有以下两条性质：

由第一条性质可得：I = aa^T - a^a

于是，完整推导为：
最后得到：
形式正好就是罗德里格斯公式。这表明，so(3) 实际上就是由所谓的旋转向量组成的空间，而指数映射即罗德里格斯公式。通过它们，我们把so(3) 中任意一个向量对应到了一个位于 SO(3) 中的旋转矩阵。反之，如果定义对数映射，我们也能把 SO(3) 中的元素对应到 so(3) 中：（直接用罗德里格斯公式反推）

关于SO(3)和SE(3)上的指数映射和对数映射，关系如下：

5、李代数求导（扰动模型）

使用李代数的一大动机是为了进行优化，而在优化过程中导数是非常必要的信息。在SLAM中，我们经常会构建与位姿有关的函数，然后讨论该函数关于位姿的导数，以调整当前的估计值。
使用李代数解决求导问题的思路分为两种：

1. 用李代数表示姿态，然后对根据李代数加法来对李代数求导。
2. 对李群左乘或右乘微小扰动，然后对该扰动求导，称为左扰动和右扰动模型。

第一种方式对应到李代数的求导模型，而第二种则对应到扰动模型。

①求导模型
按照导数的定义由：

得到：

可见，等式里包含一个形式相当复杂的雅可比矩阵，而扰动模型能完美的避免他的计算。

扰动模型（左扰动为例）

对 R 进行一次扰动 ∆R，设左扰动 ∆R 对应的李代数为φ。然后，对 φ 求导，即：

可见，扰动模型相比于直接对李代数求导，省去了一个雅可比 的计算。这使得扰动模型更为实用。
对于SE(3) 上的李代数求导：

6、下节预告

视觉SLAM中，我们研究的主要是观测方程，见SLAM的数学描述。也就是“机器人如何观测外部世界”，在以相机为主的视觉 SLAM 中，观测主要是指相机成像的过程。所以下一节学习经典的针孔相机模型，搞清楚一个空间点是如何投影到相机成像平面的。

7、非常感谢您的阅读！