【数据结构】树 二叉树 满二叉树 完全二叉树初步理解

树的相关基本术语

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

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叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

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非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

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双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

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孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

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树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

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节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

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树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

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堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

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节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

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子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

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森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

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树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法。。。树的表示形式有很多种，但是如何表示合理呢？这里我介绍一种最为合理的树的表示形式左孩子右兄弟法;

左孩子右兄弟法：顾名思义就是一个树的结构：包含左孩子指针，和右兄弟指针，加上一个值域值

注意哦：
这里的左孩子指针指向的是父节点的第一个孩子指针，其他的孩子都较为兄弟了！
左孩子：相对于父节点的叫法；
右兄弟：相对于左孩子的叫法；

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

如图：

画的好看的画：

这个左孩子有兄弟很好的表示了树的结构

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树结构典型应用场景

我们的文件系统就是啦！
无论是windows的文件系统，还是Linux的文件系统都有应用到树的结构！

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二叉树基本概念

每个结点的度，最大为2的树就是二叉树，那么也就是说，二叉树可以度为1，度为0，都是二叉树。
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树；

◼ 对于任何一棵非空二叉树，如果叶子节点个数为 n0，度为 2 的节点个数为 n2，则有: n0 = n2 + 1
证明：
假设度为 1 的节点个数为 n1，那么二叉树的节点总数 n = n0 + n1 + n2
二叉树的边数 T = n1 + 2 * n2 = n – 1 = n0 + n1 + n2 – 1
因此 n0 = n2 + 1
也就是：二叉树的度为0的结点永远比度为2的结点多1个

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满二叉树概念及其性质

最后一层的结点度为0，其他结点度为2

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基本性质：
满二叉树的结点个数为 2^h-1 ,其中h表示树的高度；
满二叉树从数学角度来说，就是一个等比数列：2⁰+2¹+…+2^h-1 = 2^h-1;
很自然的第 i 层有2^i-1个结点；

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完全二叉树的概念和性质

叶子节点只会出现最后 2 层，最后 1 层的叶子结点都靠左对齐
完全二叉树从根结点至倒数第 2 层是一棵满二叉树
满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

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性质：
度为1的结点一定是左子树；
度要么为1，要么为0
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号: 那么就会有：（对于编程的写法，这个规律是成立的）

左孩子结点的下标：2*parent +1;
右孩子结点的下标：2*parent +2;
父亲结点的下标：(child -1) / 2; 其中child为左右孩子都行。

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画个图就出来的性质！

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一道完全二叉树的面试题

◼ 如果一棵完全二叉树有 768 个节点，求叶子节点的个数？

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假设叶子节点个数为 n0，度为 1 的节点个数为 n1，度为 2 的节点个数为 n2
总结点个数 n = n0 + n1 + n2，而且 n0 = n2 + 1
✓ 得到 n = 2n0 + n1 – 1
完全二叉树的 n1 要么为 0，要么为 1
✓ n1为1时，n = 2n0，n 必然是偶数
➢ 叶子节点个数 n0 = n / 2，非叶子节点个数 n1 + n2 = n / 2
✓ n1为0时，n = 2n0 – 1，n 必然是奇数
➢ 叶子节点个数 n0 = (n + 1) / 2，非叶子节点个数 n1 + n2 = (n – 1) / 2
叶子节点个数 n0 = floor( (n + 1) / 2 ) = ceiling( n / 2 )
非叶子节点个数 n1 + n2 = floor( n / 2 ) = ceiling( (n – 1) / 2 )
因此叶子节点个数为 384

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