二叉树：二叉树的定义，性质及存储结构

一，二叉树的递归定义：二叉树（binary tree）是n （n >= 0）个节点（数据元素）组成的有限集合。当 n = 0 时，则为空二叉树；n > 0 时，二叉树由三部分组成：根节点，左子树，右子数（互不相交），子树也是一棵二叉树。

二叉树的示意图：

二叉树的子节点分为左节点和右节点

 图中第一个：A为根节点，B为左子节点，C为右子节点。

                                                 

如上图中含有6个结点，其中A是根节点，A的左子树TL由{B,C,D}构成，A的右子树TR由{E,F}构成；而左子树TL中B是根结点，左子树是{C}，右子树是{D}；右子树TR中，E是根结点，左子树为空，右子树为{F}；以此类推。由上述可以看出在二叉树中用到了递归的概念。所以二叉树是递归定义的。

简单来说，二叉树就是每个节点最多有两个分支（分支的度小于2）的树结构，可以为空树。

二，叉树中的常用术语：

1. 节点：上图中的每个圆圈就代表一个节点。（也就是一个对象）

    根节点：一棵树最上面的节点称为根节点。

    左右子树：某个节点的左分支叫做左子树，右分支叫做右子树。
    左右子节点：某个节点的左、右分支的根节点叫做该节点的左、右子节点。
    兄弟节点：具有相同父节点的节点互为兄弟节点。
    节点的度：节点拥有的子树数。
    叶子节点：没有任何子节点的节点称为叶子节点。
    内部节点：非叶子节点称为内部节点。
    根的层次：从根节点开始定义，根为第一层，根的孩子为第二层，如此计数，直到该结点为止。
    树的深度和高度：二叉树中节点的最大层次称为二叉树的深度或高度。（下图中数的深度则为        4）

                 

 三，二叉树的性质：

  性质一：若根节点的层次为1，则二叉树第n层最多有2^n-1（2的n-1次方）（i>=1）个节点。

  性质二：在高度为h的二叉树中,最多有2^h-1（这里是在2^h基础上-1）（h>=0）。

  性质三：设一棵二叉树的叶子节点数为n0，2度节点数为n2，则n0  = n2+1。

 四，二叉树的分类：

        满二叉树：如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且结点总数=2n-1 （n为层数），则为满二叉树。如下图：

                                                     

     完全二叉树：在一棵二叉树中，除了最后一层，都是满的，并且最后一层是满（满二叉树是完全二叉树）的或者是右边缺少连续若干节点，成为完全二叉树。

如下图：

                                                      

   二叉搜索树：又称为二叉查找树，排序二叉树，可为空树，节点满足左子树所有节点权<根节点权<右子树所有的节点权，不存在相等值的节点，如下图：

                                                           

 

  平衡二叉树（AVL）：是一种结构平衡的二叉搜索树（左右子树都为平衡二叉树），即左右子树深度差绝对值不超过1。常见的平衡二叉树有AVL树、红黑树等。如下图：

                                                    

  五，二叉树存储结构：在数据结构中数据的物理存储结构可以分为两种，一种是顺序存储，一种是链式存储结构。二叉树主要采用链式存储结构，顺序存储结构仅适用于完全二叉树。

 顺序储存结构：用一组连续的存储单元存放二叉树中的结点。一般按照二叉树结点从上至下，从左到右的顺序存储。这样做可以最大可能的节省存储空间，又可以利用数组元素下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。如图：

            

链式存储结构：用链表表示一颗二叉树，用链表来指示元素的逻辑关系。

1.二叉链表存储：对于一个任意的二叉树，每个结点最多有两个孩子，一个双亲结点，所以可以设计让每一个结点，至少包括三个域：数据域，左子域，右子域（其中数据域存放数据信息，lchild和rchild分别存放指向左孩子和右孩子的指针），当某个孩子不存在时，则域为空（用符号^或者NULL表示）。

  

   

2.三叉链表存储：

每个结点由四个域组成：

                  

添加的parent域则用来存储指向该结点双亲结点的指针（便于查找子结点与便于查找父结点，缺点就是增加了空间的开销）

3.二叉链表存储与三叉链表存储如下图：