BZOJ 4612([Wf2016]Forever Young) 题解

1.题目

题目描述

我的生日快到了！唉，但如今我已经老了，我想重新获得年轻的感觉。
幸运的是，我想出了一个让人感觉更年轻的好方法：如果我把我的年龄以适当选择的$b$进制书写，那么它看起来会更小。例如，假设我以$10$进制书写的年龄是$32$岁；以$16$进制书写，它只有$20$($0x20$)！
然而，在这样做时，我不能选择任意进制数。如果以$b$进制为数写的我的年龄包含$0-9$以外的数字，那么很明显我在作弊，这违背了目的。此外，如果我的年龄的进制数$b$太小，那么很明显我在作弊。
在我希望我的年龄看起来有多小的问题上,考虑到我的年龄$y$和下限$l$，找到最大的进制数$b$，这样写在基数$b$中的$y$只包含十进制数字，并且当将其看做一个十进制数字时至少是$l$。

输入格式

输入由一行组成，其中包含两个$10$进制的整数$y$ ($10\le y\le 10^{18}$ –是的,我很老）和$l$($10\le l\le y$)

输出格式

如上所述，输出最大进制数$b$。

说明/提示

时间限制：$1s$，内存限制：$1GB$

样例输入 #1

32 20

样例输出 #1

16

样例输入 #2

2016 100

样例输出 #2

42

2.思路

我们考虑枚举y转成b进制时的那个数（记为 $x$）。
首先考虑到 $x$ 不用枚举太多，因为当 $x$ 太大时，$b$ 会很小，那时只需要枚举 $b$ 就行了。
经过本人的多次测试：$x$ 只要枚举到 $1000$ ，剩下到靠枚举 $b$ 即可。
接下来我们考虑枚举 $x$ 怎么做：
①： $x$ 是一个两位数，设它是 $a_1\times 10+b_1$，则我们可以解一个一元一次方程：$a_1\cdot b+a_2=x$，可以轻松解出 $b$。
②：$x$ 是一个三位数，设它是 $a_1\times 10^2+a_2\times 10+a_3$，则我们可以解一个一元三次方程：$a_1\ast b^2+a_2\ast b+a_3=x$，即 $a_1\ast b^2+a_2\ast b+(a_3-x)=0$，利用求根公式 $b=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$，可以快速求出根，但是注意要使用__int128 或 long double。
这样枚举 $x$ 就完成了。
接下来考虑枚举 $b$ 怎么做：
将 $b$ 从 1e6 开始往下枚举，每次都将 $y$ 转换成 $b$ 进制，然后判断是否有一位大于 $9$，最后再和 $l$ 比较一下即可。

3.代码

1.解一元一次方程部分

for(register int i=max(l,10ll);i<=99;++i){
	int a=i/10,b=i%10;//找ap+b=y 
	if((y-b)%a==0){
		ans=max(ans,(y-b)/a);
	}
}

2.解一元二次方程部分

for(register int i=max(l,100ll);i<=999;++i){
	Int a=i/100,b=i/10%10,c=i%10-y;//求a*p^2+b*p+c=0
	Int nick=b*b-4*a*c;
	if(nick<0)
		continue;
	nick=Sqrt(nick);
	Int p1=-b+nick,p2=-b-nick;
	p1=p1/(2*a),p2=p2/(2*a);
	for(int pp=1;pp<=2;pp++)
	{
		Int L=p1-20,R=p1+20;
		if(L<10)
			L=10;
		for(Int xp=L;xp<=R;++xp){
			Int sum=a*xp*xp+b*xp+c;
			if(sum==0){
				if(xp>ans)
					ans=xp;
				break;
			}
		}
		swap(p1,p2);
	}
}

其中Int表示__int128

3.暴力枚举部分

for(register int i=1e6;i>=10;--i){
	if(i<ans){
		break;
	}
	zhuan(i);
	if(!check())
		continue;
	if(cmp()){
		ans=max(ans,i);
		break;
	}
}

4.其余函数部分

inline void zhuan(int x){
	cct=0;
	int p=y;
	while(p){
		cc[++cct]=p%x;
		p/=x;
	}
	for(register int i=1;i<=cct/2;++i)
		swap(cc[i],cc[cct-i+1]);
	return;
}
inline bool check(){
	for(register int i=1;i<=cct;++i){
		if(cc[i]>9)
			return false;
	}
	return true;
}
inline bool cmp(){
	int ans=0;
	for(register int i=1;i<=cct;++i)
		ans=ans*10+cc[i];
	if(ans>=l)
		return true;
	else
		return false;
}
Int Read(){
    Int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
void print(Int x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
Int Sqrt(Int x){
	Int L=1,R=1000000000000000;
	while(L<R){
		Int mid=L+R;
		mid=mid/2;
		if(mid*mid<x){
			L=mid+1;
		}
		else{
			R=mid;
		}
	}
	for(Int i=L-5;i<=L+5;++i){
		if(i*i<=x&&(i+1)*(i+1)>x){
			return i;
		}
	}
	return -1;
}

5.完整代码

#include
using namespace std;
#define int long long
#define Int __int128
#define doudle long double
inline int read();
int y,l;
int cc[1377];
int cct;
int ans;
inline void zhuan(int x){
	cct=0;
	int p=y;
	while(p){
		cc[++cct]=p%x;
		p/=x;
	}
	for(register int i=1;i<=cct/2;++i)
		swap(cc[i],cc[cct-i+1]);
	return;
}
inline bool check(){
	for(register int i=1;i<=cct;++i){
		if(cc[i]>9)
			return false;
	}
	return true;
}
inline bool cmp(){
	int ans=0;
	for(register int i=1;i<=cct;++i)
		ans=ans*10+cc[i];
	if(ans>=l)
		return true;
	else
		return false;
}
Int Read(){
    Int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
void print(Int x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
Int Sqrt(Int x){
	Int L=1,R=1000000000000000;
	while(L<R){
		Int mid=L+R;
		mid=mid/2;
		if(mid*mid<x){
			L=mid+1;
		}
		else{
			R=mid;
		}
	}
	for(Int i=L-5;i<=L+5;++i){
		if(i*i<=x&&(i+1)*(i+1)>x){
			return i;
		}
	}
	return -1;
}
signed main(){
	y=read(),l=read();
	for(register int i=max(l,10ll);i<=99;++i){
		int a=i/10,b=i%10;//找ap+b=y 
		if((y-b)%a==0){
			ans=max(ans,(y-b)/a);
		}
	}
	for(register int i=max(l,100ll);i<=999;++i){
		Int a=i/100,b=i/10%10,c=i%10-y;//求a*p^2+b*p+c=0
		Int nick=b*b-4*a*c;
		if(nick<0)
			continue;
		nick=Sqrt(nick);
		Int p1=-b+nick,p2=-b-nick;
		p1=p1/(2*a),p2=p2/(2*a);
		for(int pp=1;pp<=2;pp++)
		{
			Int L=p1-20,R=p1+20;
			if(L<10)
				L=10;
			for(Int xp=L;xp<=R;++xp){
				Int sum=a*xp*xp+b*xp+c;
				if(sum==0){
					if(xp>ans)
						ans=xp;
					break;
				}
			}
			swap(p1,p2);
		}
	}
	for(register int i=1e6;i>=10;--i){
		if(i<ans){
			break;
		}
		zhuan(i);
		if(!check())
			continue;
		if(cmp()){
			ans=max(ans,i);
			break;
		}
	}
	printf("%llu\n",ans);
	return 0;
}
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}