高数：第二章:一元函数微分学

一、导数与微分

1.导数的概念

(1)导数的定义

(1)$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

(2)$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$     【$\Delta x=x-x_0⇨x=x_0+\Delta x$】

(3)$f(x)$在$x=0$处可导 $\iff$ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}$存在
若$f(0)=0$，则$f(x)$在$x=0$处可导 $\iff$ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$存在

①导数是一种特殊的极限，导数是函数改变量与自变量改变量之比的极限(变化率的极限存在)。
②导数 刻画 函数在这一点的变化率。

(2)左右导数

①左导数的定义：
$f^{\prime }\_(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

②右导数的定义：
$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

(3)定理：可导与左右导数的关系

(1)可导 $\iff$ 左、右导数都存在且相等
(2)有连续一阶导数 $\iff \{\begin{array}{r}①处处可导\\ ②f^{\prime }(x)连续\end{array}$
(3)$f(x)$ $n$阶可导，最多出现 $f^{(n-1)}(x)$

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例题1：23李林六套卷(一) 2.   连续、极限存在、可导的定义

分析：

答案：D

例题2：18年1.

分析：
带绝对值的函数，分段(x>0，x<0)求f(x)、f’(x)：
推导可知，A、C 有没有绝对值，f(x)表达式都相同，且f’(x)没有分母，一定可导
B.分段求f(x)，f’(x)，得$f_{+}^{\prime }(0)=0$，$f_{-}^{\prime }(0)=0$，则$f^{\prime }(0)=0$，f(x)在x=0处可导
D.分段求f(x)，f’(x)，得$f_{+}^{\prime }(0)=-\frac{1}{2}$，$f_{-}^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$，f(x)在x=0处不可导

答案：D

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(4)可导三要素

$\lim \frac{f(\phi (h))}{\Psi (h)}$存在 【高数辅导讲义P54】

①双侧趋近： φ(h)既能趋近0⁺，又能趋近 0^-
②同阶无穷小：φ(h)与Ψ(h)要同阶，或分子更高阶
③一动一定(固定一点)

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例题1：高数辅导讲义 P53页例题2 (数一真题)

分析：
A.单侧趋近
B.正确
C.分母比分子高阶，极限不一定存在
D.两动点，没有固定一点

答案：B

例题2：

分析：
A、B：单侧趋近
C.没有固定一点，拆开两个极限不一定单独存在，所以不可拆。必须固定一点。

答案：D

例题3：20年2.

分析：

A、B：题干只说f(x)在(-1,1)内有定义，没说连续，故不可导。取可去间断点的分段函数为反例。A、B❌

C： f(x)在x=0处可导 ⇦⇨ $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$存在   ∴f(x)为x的同阶或高阶无穷小
又因为$\sqrt{|x|}$比x低阶   ∴$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$。   C✔

D：当f(x)比x²低阶，$\frac{f(x)}{x^2}$应该为∞，不为0；当f(x)与x²同阶，$\frac{f(x)}{x^2}$应该为$k\ne 0$；举反例，取f(x)=x。D❌

答案：C

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(5)用导数定义判断可导性

1.含绝对值的导数：
①设$f(x)=\phi (a)|x-a|$，且$\phi (x)$在$x=a$处连续，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充分必要条件是 $\phi (a)=0$
②$|x|x^n$ 在x=0处n阶可导 【$|x|$在x=0处不可导，$x|x|$在x=0处1阶可导】

2.带极限号的函数的可导性：
①第一步：求极限，确定f(x)表达式
②第二步，根据f(x)表达式确定可导性

3.几何方法(选填)：
画图，左右切线的斜率代表左右导数。若不同，则该点处不可导。

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例题1：660 T151

分析：

答案：C

例题2：660 T152

分析：
法一：二级结论：$|x|x^n$ 在x=0处n阶可导
法二：导数定义

答案：C

例题3：05年7.   带极限号的函数的可导性的判定

分析：带极限号的函数的可导性，第一步：求极限，确定f(x)表达式； 第二步，根据f(x)表达式确定可导性

几何法：

答案：C

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2.微分的概念

(1)微分的定义

若 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可以表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)(\Delta x\to 0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处可微，称$A\Delta x$为函数$f(x)$在点$x_0$处相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记为 $dy=A\Delta x$

微分是函数在这一点 改变量/变化量(增量) 的近似值，是函数改变量的线性主部 (忽略o(Δx))。

(2)微分与可导的关系

函数 $y=f(x)$在点$x_0$处可微的充分必要条件是$f(x)$点$x_0$处可导，且有 $dy=f^{\prime }(x_0)\Delta x=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x$

3.导数与微分的几何意义

(1)导数$f^{\prime }(x_0)$的几何意义：切线的斜率、相关变化率

平面曲线可以用3种方法表示：①直角坐标 ②参数方程 ③极坐标：根据$\{\begin{array}{rl}x& =\rho cos\theta \\ y& =\rho sin\theta \end{array}$ 把x、y表示成θ的参数方程

①切线的斜率：$f^{\prime }(x_0)=\frac{dy}{dx}=\tan \alpha =k_{切线}$

②法线的斜率 = $-\frac{1}{切线斜率}$

③相切 $\iff \{\begin{array}{r}Ⅰ.函数值相等\\ Ⅱ.导数值相等\end{array}$

④相关变化率：
知道一个变化率，求另一个相关的变量的变化率：和求参数方程的导数类似

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例题1：  ③极坐标

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(2)微分的几何意义：切线的增量

①微分 $dy=f^{\prime }(x_0)dx$在几何上表示曲线 $y=f(x)$的切线上的增量。
②$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 上的增量。$\Delta y\approx dy$。

Δx：自变量的增量
Δy：函数的增量，曲线y(x)的增量
dy：函数的微分，切线的增量

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例题1：06年7.   微分的几何意义

分析：
法1：画图法
$\Delta x$是自变量的增量，$\Delta y$是函数曲线的增量，$dy$是切线的增量。在 $f^{\prime }(x)>0$且$f^{\prime \prime }(x)>0$ 的情况下，画图明显可知：0<切线的增量<曲线的增量，即 0

法2：拉格朗日中值定理

答案：A

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4.连续、可导、可微之间的关系

5.导数公式

(5) $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

(6) $(\ln |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

(9) $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$

(11) $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

(14) $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

6.求导法则

(0)结论：奇偶性、周期性、分段函数分段点

1.奇偶函数可导的性质
①f是奇函数，则$f^{\prime }$为偶函数；f是偶函数，则$f^{\prime }$为奇函数 【奇函数的导数为偶函数，偶函数的导数为奇函数】
②奇函数在x=0点处的偶次阶导数均为0，即：$f(x)$为奇函数 $\iff$ $f^{(2n)}(0)=0$
偶函数在x=0点处的奇次阶导数均为0，即：$f(x)$为偶函数 $\iff$ $f^{(2n+1)}(0)=0$

2.周期函数可导的性质：
若$f(x)$是可导的以T为周期的周期函数，则$f^{\prime }(x)$也是以T为周期的周期函数

3.分段函数在分段点的导数：用导数定义

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例题1：17年9.

分析：奇偶性
f(x)是偶函数，则$f^{\prime \prime \prime }(x)$为奇函数，则$f^{\prime \prime \prime }(0)=0$

答案：0

例题2：

答案：周期性+奇偶性
①周期性：f(x)是可导的以2π为周期的周期函数，则$f^{\prime \prime \prime }(x)$也是以2π为周期的周期函数，则$f^{\prime \prime \prime }(2\pi )=f^{\prime \prime \prime }(0)$。
②奇偶性：可验证，$f(x)$为偶函数，则$f^{\prime \prime \prime }(x)$为奇函数。由奇函数的性质，可得$f^{\prime \prime \prime }(0)=0$

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(1)有理运算法则

①和、差的导数：
②乘法导数：
③除法导数：

(2)复合函数：链式求导法则 (链导法)

设$u=g(x)$在$x$处可导，$y=f(u)$在相应点处可导【$g^{\prime }(x_0)$存在，$f^{\prime }[g(x_0)]$存在】，则复合函数 $y=f(g(x))$在$x$处可导，且
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$$

由(1)、(2)可解决初等函数的导数 (和差积商、复合)

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例题1：23李林四(三)11.

分析：

答案：$\frac{3}{8}+\frac{1}{4}\ln 2$

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(3)隐函数求导法

求$y^{\prime \prime }(0)$：
①令x=0，得y(0)
②两边求导，代入x=0、y(0)，得$y^{\prime }(0)$
③再两边求导，代入x=0、y(0)、$y^{\prime }(0)$，得$y^{\prime \prime }(0)$

1.概念：
$y=y(x)$是由方程 $F(x,y)=0$ 确定，无法明确求出$y=y(x)$的具体表达式，称$y(x)$为隐函数。

2.方法：
①等式两边求导：隐函数求导：直接两边求导后，直接代入。不必化简为y’ = 多少
②隐函数求导公式：$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$

(4)参数方程求导法

一阶：$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$
二阶：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y^{\prime \prime }(t)x^{\prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)}{x^{\prime 3}(t)}$

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例题1：10年9.

分析：
法一：链式求导

法二：公式法：$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{y^{\prime \prime }(t)x^{\prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)}{x^{\prime 3}(t)}$

答案：0

例题2：23李林六套卷(六)12.   参数方程 + 导数定义

分析：

答案：4

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(5)反函数的导数

一阶反函数的导数：${\phi }^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

二阶反函数的导数：${\phi }^{\prime \prime }(y)=-\frac{f^{\prime \prime }(x)}{f^{\prime 3}(x)}$     【注意：求φ’'(1)，是y=1，此时x等于多少还需要代入原式求x的值】

推导：
①$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{y^{\prime }}$


②$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=\frac{d(\frac{dx}{dy})}{dy}=\frac{d(\frac{dx}{dy})}{dx}\frac{dx}{dy}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^2}\frac{1}{y^{\prime }}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}$

(6)对数求导法

由于和差的导数比乘除的导数运算简单，因此取对数，利用对数的运算法则，可将乘除的导数变为和差的导数。例如表达式：多个因式的乘除、乘幂、幂指函数的形式【连乘、连除、乘方、开方】

(7)高阶导数

(1)4个常用的高阶导数公式：
①$(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$

②$(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$

③$(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

④$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{\mathrm{C}}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}$   【乘法的n阶导数公式：莱布尼茨公式】

$\frac{1}{1+x}、\ln (1+x)$的n阶导数，没必要背，求1阶、2阶，归纳n阶导数规律 即可

(2)求1阶，2阶导数，归纳n阶导数的规律

例如：$(\frac{1}{x+a}{)}^{(n)}=(-1{)}^n\frac{n!}{(x+a{)}^{n+1}}$，这种公式没必要背，现推很快的。

(3)泰勒公式：$f^{(n)}(x_0)=a_n\cdot n!$
$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+a_3(x-x_0{)}^3+...+a_n(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)(x\to x_0)$

总结：
(1)n阶导数公式、(2)求1阶2阶导数归纳规律：用于求n阶导函数 $f^{(n)}(x)$
(3)泰勒公式：用于求具体点$x_0$的n阶导数 $f^{(n)}(x_0)$

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例题1：16年12.   泰勒公式

分析：

答案：$\frac{1}{2}$

例题2：

分析：
法一：求一阶、二阶、三阶导数，归纳规律
法二：泰勒公式 $f^{(n)}(0)=a_n\cdot n!$

答案：$\frac{(-1{)}^n\cdot 2^n\cdot n!}{3^{n+1}}$

例题3：880 多元 综合填空3

例题4：武钟祥每日一题 24-Day60  啊，我“拆”开了！

分析：

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二、微分中值定理与导数应用

1.微分中值定理

(0)费马引理

(1)罗尔定理

罗尔定理：如果函数f(x)满足：
(1)在闭区间 $[a,b]$ 上连续
(2)在开区间 $(a,b)$ 内可导
(3)在区间端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$
那么在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点$\xi (a<\xi <b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$ ：$\exists \xi \in (a,b)，使f^{\prime }(\xi )=0$

(2)拉格朗日中值定理

若函数f(x)满足：
(1)在闭区间 $[a,b]$ 上连续
(2)在开区间 $(a,b)$ 内可导
那么在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点ξ (a<ξョξ∈(a,b)，使得
$$\begin{gathered} f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)(a<\xi <b) \\ 或f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a<\xi <b) \end{gathered}$$

1.罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系：
①罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例：f(a)=f(b),则f’(ξ)=0
②拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广

2.拉朗转化功能
①$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$不会操作，转化为$f^{\prime }(\xi )$
②$f(b)-f(a)$不好操作，转化为$(b-a)f^{\prime }(\xi )$
③$f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)$不好操作，转化为$(b-a)f^{\prime \prime }(\xi )$

3.证明拉格朗日中值定理：构造辅助函数，用罗尔定理

(3)柯西中值定理

证明：①是传统的辅助函数，但难于验证F(a)=F(b)   ②是更好的辅助函数，更易得F(a)=F(b)

(4)泰勒中值定理 (泰勒公式拉格朗日余项)

佩阿诺余项：局部性态，研究极限
拉格朗日余弦：整体性态，研究中值定理

总结

1.四大中值定理的本质
①罗尔、拉朗、柯西 三者建立了函数值与一阶导数的联系 $f(x)⇦⇨f^{\prime }(x)$。给函数，证导数 / 给导数，证函数。
②泰勒中值定理：函数值$f(x)$与高阶导数$f^{(n)}(x)$

2.四者的关系：
$罗尔定理\underset{特例}{\stackrel{推广}{}}拉格朗日中值定理\underset{特例}{\stackrel{推广}{}}柯西中值定理$
但是，拉朗和柯西都是通过 罗尔定理+构造辅助函数 证明出来的

微分中值定理的证明题

(1)单中值：证明存在一个点ξ∈(a,b)，使$g[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]=0$

方法：构造辅助函数，用罗尔定理：

构造辅助函数的三种方法：
1.分析法(还原法)
观察分析，确定辅助函数F(x)，使得$F^{\prime }(x)=g[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]$。且F(x)有两个端点函数值相等，用罗尔定理可得$F^{\prime }(x)=g[\xi ,f(\xi ),f^{\prime }(\xi )]=0$。

2.微分方程法
①求微分方程 $g[x,y,y^{\prime }]=0$的通解 $H(x,y)=C$
②设辅助函数：$F(x)=H(x,f(x))$

3.常用辅助函数：【辅导讲义P79】
①$\xi f^{\prime }(\xi )+nf(\xi )=0$，令 $F(x)=x^{n}f(x)$

②$\xi f^{\prime }(\xi )-nf(\xi )=0$，令 $F(x)=\frac{f(x)}{x^n}$

③$f^{\prime }(\xi )+\lambda f(\xi )=0$，令$F(x)=e^{\lambda x}f(x)$

④$f^{\prime }(\xi )+g(\xi )f(\xi )=0$，令$F(x)=e^{\int g(x)dx}f(x)$

(2)双中值：证明存在两个中值点 ξ,η∈(a,b)，使$g[\xi ,\eta ,f(\xi ),f(\eta ),f^{\prime }(\xi ),f^{\prime }(\eta )]=0$

1.方法：
(1)不要求 $\xi \ne \eta$
在同一区间[a,b]上用两次中值定理(拉格朗日、柯西中值定理)

(2)要求 $\xi \ne \eta$
将区间[a,b]分为两个子区间，在两个子区间上分别用拉格朗日中值定理

难点和关键点：两个子区间上分界点的选取：
①用第一问的结论
②逆推法：先假设一个分界点c，(a,c)和(c,b)上各用一次拉格朗日中值定理，代入要证明的条件，观察$f(c)$的选取。【辅导讲义P83例5】

(3)高阶导数：证明存在一个中值点 ξ∈(a,b)，使 $g[\xi ,f^{(n)}(\xi )]\ge 0(n\ge 2)$

方法：用带拉格朗日余项的泰勒公式，展开点$x_0$选提供函数值和导数值信息多的点。(当提供函数值、提供导数值信息一样多，如都各自提供一个，此时选提供导数值的点展开，然后分别令x=提供函数值的点，代入泰勒公式 【辅导讲义P85例题2】)

2.泰勒公式

泰勒公式的伟大意义：
①建立了函数值与高阶导数之间的联系： $f(x)⇦⇨f^{(n)}(x)$ 【题目出现了n阶导数，应该要想到泰勒公式】
②用多项式逼近。多项式求极限、求导数、求积分都比较简单。

(1)泰勒中值定理1：佩亚诺余项，局部泰勒公式，用于极限的计算

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}(x-x_0{)}^3+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$

佩亚诺余项(用于计算极限)：$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$

(2)泰勒中值定理2：拉格朗日余项，整体泰勒公式，用于证明

$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(x_0)}{3!}(x-x_0{)}^3+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$

拉格朗日余项(用于证明)：$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}（x_0<\xi <x）$

(3)麦克劳林公式

原式	泰勒展开 (写到3阶)
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$\sin x$	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$
$\cos x$	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
$\mathrm{arcsinx}$	$x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
$\frac{1}{1-x}$	$1+x+x^2+x^3+o(x^3)$
$\frac{1}{1+x}$	$1-x+x^2-x^3+o(x^3)$
$\ln (1+x)$	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$$-\frac{x^4}{4}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
$\frac{1}{1+x^2}$	$1-x^2+x^4-x^6+...$
$\arctan x$	$x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+...$
$\tan x$	$x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
$(1+x{)}^{\alpha }$	$1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+...+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

3.单调性与极值、最值

(1)函数的极值

1.极值的定义
设函数f(x)在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去心邻域$\mathring{U}(x_0)$内的任一x，【极值是局部形态】
恒有$f(x)<f(x_0)$，则称$x_0$为$f(x)$的一个极大值点，称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值。
恒有$f(x)>f(x_0)$，则称$x_0$为$f(x)$的一个极小值点，称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极小值。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。

极大值可能小于极小值，没有大小关系

2.极值的判定
(1)极值的必要条件：
$y=f(x)$，①$x_0$是极值点 + ②$f(x)$在点$x_0$处可导 ⇨ $x_0$是驻点，即$f^{\prime }(x_0)=0$
【意思是：①可导函数f(x)的极值点，一定是它的驻点。②驻点不一定是极值点，如f(x)=x³ ③函数f(x)的极值点，不一定是它的驻点，因为极值点处可能不可导。如f(x)=|x|】

(1)可能的极值点：
①驻点，即$f^{\prime }(x_0)=0$
②不可导点，即$f^{\prime }(x_0)$不存在
(2)普通函数f(x)的极值点与驻点没有关系

(2)极值的充分条件：
①极值第一充分条件： $x_0$两侧：①$f^{\prime }(x)$变号 或 $f(x)$单调性相反
Ⅰ.极大值：$f^{\prime }(x)$由正变负 或 $f(x)$由单增变单减
Ⅱ.极小值：$f^{\prime }(x)$由负变正 或 $f(x)$由单减变单增
Ⅲ.没有极值：$f^{\prime }(x)$不变号 或 $f(x)$单调性不变

②极值第二充分条件
设函数f(x)在$x_0$处具有二阶导数且 $f^{\prime }(x_0)=0,f^{\prime \prime }(x_0)\ne 0$，则
Ⅰ.当$f^{\prime }(x_0)=0，f^{\prime \prime }(x_0)<0$时，函数f(x)在$x_0$处取得极大值
Ⅱ.当$f^{\prime }(x_0)=0，f^{\prime \prime }(x_0)>0$时，函数f(x)在$x_0$处取得极小值

③极值第三充分条件
若$y=f(x)$在$x_0$的某邻域内有n阶导数，且
$f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0$，但 $f^{(n)}(x_0)\ne 0$，则
(1)n为偶数，则$x_0$为$f(x)$的极值点。且$f^{(n)}(x_0)>0$为极小值，$f^{(n)}(x_0)<0$为极大值
(2)n为奇数，f(x)在$x_0$处无极值，但 $(x_0,f(x_0))$为曲线y=f(x)的拐点

(2)函数的最大值、最小值

1.求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
①求出(a,b)内所有驻点和不可导点
②求出驻点函数值、不可导点函数值、端点函数值。
③比较大小，最大的为最大值，最小的最小值

注：若函数f(x)在(a,b)内仅有唯一极值点，则唯一极值点处就取得最值

2.最大最小值应用题：
①建立目标函数
②求最大值最小值

4.曲线的凹凸性与拐点

(1)凹凸性

(1)凹：判定方法：
①定义：$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
②二阶导：$f^{\prime \prime }(x)>0$
③曲线形状： 曲线是凹的

(2)凸：判定方法：
①定义：$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
②二阶导：$f^{\prime \prime }(x)<0$
③曲线形状： 曲线是凸的

(2)拐点

1.拐点的定义：$(x_0,f(x_0))$是曲线上的点，一对坐标。
拐点$x_0$两侧凹凸性改变：凹→凸、凸→凹

2.拐点的判定：(一个必要，三个充分)
(1)拐点的必要条件：$f^{\prime \prime }(x_0)=0$ 或 $f^{\prime \prime }(x_0)$不存在
(2)拐点的充分条件：
①拐点的第一充分条件：$x_0$左右两侧 $f^{\prime \prime }(x)$ 异号 或 $f^{\prime }(x)$ 在$x_0$两侧单调性相反
②拐点的第二充分条件：$f^{\prime \prime }(x_0)=0，f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$
③拐点的第三充分条件：若$f^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime \prime }(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0$，但$f^{(n)}(x_0)\ne 0$，n为奇数【最高次导数为奇数阶导数不为0，为拐点】【2到n-1阶导为0，不要求1阶导为0】

奇数阶导数不为0：拐点  ；举例： $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime \prime }(x_0)=f^{(4)}(x_0)=0,f^{(5)}(x_0)\ne 0$，则$x_0$为拐点
偶数阶导数不为0：极值点  ；举例： $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime \prime }(x_0)=0,f^{(4)}(x_0)\ne 0$，则$x_0$为极值点

3.极值点 vs 拐点：
(1)极值点是x轴上的点$x=x_0$，拐点是曲线上的点$(x_0,y_0)$
(2)点的必要条件、第一第二充分条件，就是极值的必要条件、第一第二充分条件抬高一阶
(3)①可导函数的可导的点，不能同时出现极值点和拐点：$x_0$若为极值点，则$(x_0,f(x_0))$不会是拐点。若$(x_0,f(x_0))$为拐点，则$x_0$不会是极值点。
②不可导的点(如分段函数分界点)，可以同时出现极值点和拐点
即，$f(x)$在$x=x_0$不可导，$x=x_0$与$(x_0,f(x_0))$可以同时是$y=f(x)$的极值点与拐点。 【660 T161】

5.曲线的渐近线

(1)渐近线的本质：割线的极限位置
(2)分析顺序：①铅直渐渐线→ ②水平渐近线(双向)→ ③斜渐近线(双向)
(3)铅直渐近线可以有无数条，而 水平渐近线+斜渐近线 最多只能有2条，为x轴的正向和负向

①水平渐近线 (双向)

水平渐近线有+∞和-∞两个方向

若有$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=c$ 或者 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=c$
则称 $y=c$为曲线$y=f(x)$的水平渐近线

②铅直渐近线 （找无穷间断点）

有无穷间断点a，则 x=a 为曲线的铅直渐近线

③斜渐近线 (双向)

斜渐近线也有+∞和-∞两个方向。有该方向上的水平渐近线，则无该方向上的斜渐近线。即，水平渐近线 + 斜渐近线 ≤ 2

若有$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a\ne 0$ 且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-ax)=b$
或者$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=a\ne 0$ 且 $\underset{x\to -\infty }{\lim }(f(x)-ax)=b$
则称 $y=ax+b$为曲线$y=f(x)$的斜渐近线

快速求斜渐近线

$若y=f(x)=ax+b+\alpha (x)，\alpha (x)\to 0【线性函数＋无穷小量】。则y=f(x)有斜渐近线y=ax+b$

6.平面曲线的曲率

曲率的定义：描述函数在一点处的弯曲程度。$K=\underset{\Delta s\to 0}{\lim }|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}|$

曲率的计算：$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}$

曲率半径：$R=\frac{1}{K}$

7.方程的根：存在性、个数

1.根的存在性
①方法一：零点定理
②方法二：罗尔定理

2.根的个数
①方法一：单调性
②方法二：罗尔定理推论

罗尔定理推论：若在区间 $\mathrm{I}$ 上 $f^{(n)}(x)\ne 0$，则方程 $f(x)=0$ 最多有 $n$ 个实根

3.做题步骤：
(1)构造函数，令$f(x)=...$ 【则 原方程有根 $\iff$ $f(x)=0$】
(2)求$f^{\prime }(x)$，令$f^{\prime }(x)=0$，得驻点
(3)根据驻点分区间讨论单调性

8.函数不等式的证明

(1)证明不等式的5种常用方法

①单调性
②最大最小值
③拉格朗日中值定理

④泰勒公式
⑤凹凸性

(2)基本不等式

①$2ab\le a^2+b^2$

②$\sin x<x<\tan x，x\in (0,\frac{\pi }{2})$

③$\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x，x\in (0,+\infty )$   ⇨   $\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$

④$1+x\le e^x$

⑤放缩常用不等式：
$|a\pm b|\le |a|+|b|\le 2\max \{|a|,|b|\}$