高数:第二章:一元函数微分学

文章目录

  • 一、导数与微分
    • 1.导数的概念
      • (1)导数的定义
      • (2)左右导数
      • (3)定理:可导与左右导数的关系
      • (4)可导三要素
      • (5)用导数定义判断可导性
    • 2.微分的概念
      • (1)微分的定义
      • (2)微分与可导的关系
    • 3.导数与微分的几何意义
      • (1)导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0)的几何意义:切线的斜率、相关变化率
      • (2)微分的几何意义:切线的增量
    • 4.连续、可导、可微之间的关系
    • 5.导数公式
    • 6.求导法则
      • (0)结论:奇偶性、周期性、分段函数分段点
      • (1)有理运算法则
      • (2)复合函数:链式求导法则 (链导法)
      • (3)隐函数求导法
      • (4)参数方程求导法
      • (5)反函数的导数
      • (6)对数求导法
      • (7)高阶导数
  • 二、微分中值定理与导数应用
    • 1.微分中值定理
      • (0)费马引理
      • (1)罗尔定理
      • (2)拉格朗日中值定理
      • (3)柯西中值定理
      • (4)泰勒中值定理 (泰勒公式拉格朗日余项)
      • 总结
      • 微分中值定理的证明题
        • (1)单中值:证明存在一个点ξ∈(a,b),使 g [ ξ , f ( ξ ) , f ′ ( ξ ) ] = 0 g[ξ,f(ξ),f'(ξ)]=0 g[ξ,f(ξ),f(ξ)]=0
        • (2)双中值:证明存在两个中值点 ξ,η∈(a,b),使 g [ ξ , η , f ( ξ ) , f ( η ) , f ′ ( ξ ) , f ′ ( η ) ] = 0 g[ξ,η,f(ξ),f(η),f'(ξ),f'(η)]=0 g[ξ,η,f(ξ),f(η),f(ξ),f(η)]=0
        • (3)高阶导数:证明存在一个中值点 ξ∈(a,b),使 g [ ξ , f ( n ) ( ξ ) ] ≥ 0   ( n ≥ 2 ) g[ξ,f^{(n)}(ξ)]≥0 \ (n≥2) g[ξ,f(n)(ξ)]0 (n2)
    • 2.泰勒公式
      • (1)泰勒中值定理1:佩亚诺余项,局部泰勒公式,用于极限的计算
      • (2)泰勒中值定理2:拉格朗日余项,整体泰勒公式,用于证明
      • (3)麦克劳林公式
    • 3.单调性与极值、最值
      • (1)函数的极值
      • (2)函数的最大值、最小值
    • 4.曲线的凹凸性与拐点
      • (1)凹凸性
      • (2)拐点
    • 5.曲线的渐近线
      • ①水平渐近线 (双向)
      • ②铅直渐近线 (找无穷间断点)
      • 斜渐近线 (双向)
        • 快速求斜渐近线
    • 6.平面曲线的曲率
    • 7.方程的根:存在性、个数
    • 8.函数不等式的证明
      • (1)证明不等式的5种常用方法
      • (2)基本不等式

一、导数与微分

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1.导数的概念

(1)导数的定义

(1) f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h f'(x_0)=\lim\limits_{Δx→0}\dfrac{Δy}{Δx}=\lim\limits_{Δx→0}\dfrac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}=\lim\limits_{h→0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} f(x0)=Δx0limΔxΔy=Δx0limΔxf(x0+Δx)f(x0)=h0limhf(x0+h)f(x0)

(2) f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(x_0)=\lim\limits_{x→x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f(x0)=xx0limxx0f(x)f(x0)     【 Δ x = x − x 0 ⇨ x = x 0 + Δ x Δx=x-x_0 ⇨ x=x_0+Δx Δx=xx0x=x0+Δx

(3) f ( x ) f(x) f(x) x = 0 x=0 x=0处可导 ⇔ \Leftrightarrow lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x \lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x} x0limxf(x)f(0)存在
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0,则 f ( x ) f(x) f(x) x = 0 x=0 x=0处可导 ⇔ \Leftrightarrow lim ⁡ x → 0 f ( x ) x \lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)}{x} x0limxf(x)存在

①导数是一种特殊的极限,导数是函数改变量与自变量改变量之比的极限(变化率的极限存在)。
②导数 刻画 函数在这一点的变化率。


(2)左右导数

①左导数的定义:
f ′ _ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 − Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 − f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'\_(x_0)=\lim\limits_{Δx→0^-}\dfrac{Δy}{Δx}=\lim\limits_{Δx→0^-}\dfrac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}=\lim\limits_{x→x_0^-}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f_(x0)=Δx0limΔxΔy=Δx0limΔxf(x0+Δx)f(x0)=xx0limxx0f(x)f(x0)

②右导数的定义:
f + ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 + Δ y Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 + f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'_{+}(x_0)=\lim\limits_{Δx→0^+}\dfrac{Δy}{Δx}=\lim\limits_{Δx→0^+}\dfrac{f(x_0+Δx)-f(x_0)}{Δx}=\lim\limits_{x→x_0^+}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f+(x0)=Δx0+limΔxΔy=Δx0+limΔxf(x0+Δx)f(x0)=xx0+limxx0f(x)f(x0)


(3)定理:可导与左右导数的关系

(1)可导 ⇔ \Leftrightarrow 左、右导数都存在且相等
(2)有连续一阶导数 ⇔ { ①处处可导 ② f ′ ( x ) 连续 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} ①处处可导 \\ ②f'(x)连续 \end{aligned}\right. {处处可导f(x)连续
(3) f ( x ) f(x) f(x) n n n阶可导,最多出现 f ( n − 1 ) ( x ) f^{(n-1)}(x) f(n1)(x)



例题1:23李林六套卷(一) 2.   连续、极限存在、可导的定义
在这里插入图片描述

分析:
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答案:D


例题2:18年1.
在这里插入图片描述

分析:
带绝对值的函数,分段(x>0,x<0)求f(x)、f’(x):
推导可知,A、C 有没有绝对值,f(x)表达式都相同,且f’(x)没有分母,一定可导
B.分段求f(x),f’(x),得 f + ′ ( 0 ) = 0 f_+'(0)=0 f+(0)=0 f − ′ ( 0 ) = 0 f_-'(0)=0 f(0)=0,则 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f(0)=0,f(x)在x=0处可导
D.分段求f(x),f’(x),得 f + ′ ( 0 ) = − 1 2 f_+'(0)=-\dfrac{1}{2} f+(0)=21 f − ′ ( 0 ) = 1 2 f_-'(0)=\dfrac{1}{2} f(0)=21,f(x)在x=0处不可导

答案:D



(4)可导三要素

lim ⁡ f ( φ ( h ) ) Ψ ( h ) \lim \dfrac{f(φ(h))}{Ψ(h)} limΨ(h)f(φ(h))存在 【高数辅导讲义P54】

①双侧趋近: φ(h)既能趋近0+,又能趋近 0-
②同阶无穷小:φ(h)与Ψ(h)要同阶,或分子更高阶
③一动一定(固定一点)



例题1:高数辅导讲义 P53页例题2 (数一真题)
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分析:
A.单侧趋近
B.正确
C.分母比分子高阶,极限不一定存在
D.两动点,没有固定一点
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答案:B


例题2:
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分析:
A、B:单侧趋近
C.没有固定一点,拆开两个极限不一定单独存在,所以不可拆。必须固定一点。

答案:D


例题3:20年2.
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分析:

A、B:题干只说f(x)在(-1,1)内有定义,没说连续,故不可导。取可去间断点的分段函数为反例。A、B❌

C: f(x)在x=0处可导 ⇦⇨ f ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 f ( x ) x f'(0)=\lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)}{x} f(0)=x0limx0f(x)f(0)=x0limxf(x)存在   ∴f(x)为x的同阶或高阶无穷小
又因为 ∣ x ∣ \sqrt{|x|} x 比x低阶   ∴ lim ⁡ x → 0 f ( x ) ∣ x ∣ = 0 \lim\limits_{x→0}\dfrac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0 x0limx f(x)=0。   C✔

D:当f(x)比x²低阶, f ( x ) x 2 \dfrac{f(x)}{x²} x2f(x)应该为∞,不为0;当f(x)与x²同阶, f ( x ) x 2 \dfrac{f(x)}{x²} x2f(x)应该为 k ≠ 0 k≠0 k=0;举反例,取f(x)=x。D❌

答案:C



(5)用导数定义判断可导性

1.含绝对值的导数:
①设 f ( x ) = φ ( a ) ∣ x − a ∣ f(x)=φ(a)|x-a| f(x)=φ(a)xa φ ( x ) φ(x) φ(x) x = a x=a x=a处连续,则 f ( x ) f(x) f(x) x = a x=a x=a 处可导的充分必要条件是 φ ( a ) = 0 φ(a)=0 φ(a)=0
∣ x ∣ x n |x|x^n xxn 在x=0处n阶可导 ∣ x ∣ |x| x在x=0处不可导, x ∣ x ∣ x|x| xx在x=0处1阶可导】


2.带极限号的函数的可导性:
①第一步:求极限,确定f(x)表达式
②第二步,根据f(x)表达式确定可导性


3.几何方法(选填):
画图,左右切线的斜率代表左右导数。若不同,则该点处不可导。



例题1:660 T151
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分析:
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答案:C


例题2:660 T152
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分析:
法一:二级结论: ∣ x ∣ x n |x|x^n xxn 在x=0处n阶可导
法二:导数定义
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答案:C


例题3:05年7.   带极限号的函数的可导性的判定
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分析:带极限号的函数的可导性,第一步:求极限,确定f(x)表达式; 第二步,根据f(x)表达式确定可导性

几何法:
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答案:C




2.微分的概念

(1)微分的定义

Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δy=f(x_0+Δx)-f(x_0) Δy=f(x0+Δx)f(x0) 可以表示为 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) ( Δ x → 0 ) Δy=AΔx+o(Δx) \quad (Δx→0) Δy=AΔx+o(Δx)(Δx0),则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处可微,称 A Δ x AΔx AΔx为函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处相应于自变量增量 Δ x Δx Δx的微分,记为 d y = A Δ x dy=AΔx dy=AΔx

微分是函数在这一点 改变量/变化量(增量) 的近似值,是函数改变量的线性主部 (忽略o(Δx))。


(2)微分与可导的关系

函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x_0 x0处可微的充分必要条件是 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0处可导,且有 d y = f ′ ( x 0 ) Δ x = f ′ ( x 0 ) d x dy=f'(x_0)Δx=f'(x_0){\rm d}x dy=f(x0)Δx=f(x0)dx



3.导数与微分的几何意义

(1)导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0)的几何意义:切线的斜率、相关变化率

平面曲线可以用3种方法表示:①直角坐标 ②参数方程 ③极坐标:根据 { x = ρ c o s θ y = ρ s i n θ \left\{\begin{aligned} x & = ρcosθ \\ y & = ρsinθ \end{aligned}\right. {xy=ρcosθ=ρsinθ 把x、y表示成θ的参数方程

①切线的斜率: f ′ ( x 0 ) = d y d x = tan ⁡ α = k 切线 f'(x_0)=\dfrac{dy}{dx}=\tanα=k_{切线} f(x0)=dxdy=tanα=k切线

②法线的斜率 = − 1 切线斜率 -\dfrac{1}{切线斜率} 切线斜率1

③相切 ⇔ { Ⅰ . 函数值相等 Ⅱ . 导数值相等 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} Ⅰ.函数值相等 \\ Ⅱ.导数值相等 \end{aligned}\right. {Ⅰ.函数值相等Ⅱ.导数值相等

④相关变化率:
知道一个变化率,求另一个相关的变量的变化率:和求参数方程的导数类似
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例题1:  ③极坐标
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(2)微分的几何意义:切线的增量

①微分 d y = f ′ ( x 0 ) d x dy=f'(x_0)dx dy=f(x0)dx在几何上表示曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)切线上的增量
Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δy=f(x_0+Δx)-f(x_0) Δy=f(x0+Δx)f(x0)在几何上表示曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的增量 Δ y ≈ d y Δy≈dy Δydy

Δx:自变量的增量
Δy:函数的增量,曲线y(x)的增量
dy:函数的微分,切线的增量

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例题1:06年7.   微分的几何意义
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分析:
法1:画图法
Δ x Δx Δx是自变量的增量, Δ y Δy Δy是函数曲线的增量, d y dy dy是切线的增量。在 f ′ ( x ) > 0 f'(x)>0 f(x)>0 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f′′(x)>0 的情况下,画图明显可知:0<切线的增量<曲线的增量,即 0

法2:拉格朗日中值定理
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答案:A




4.连续、可导、可微之间的关系

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5.导数公式

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(5) ( log ⁡ a x ) ′ = 1 x ln ⁡ a (\log_ax)'=\dfrac{1}{x\ln a} (logax)=xlna1

(6) ( ln ⁡ ∣ x ∣ ) ′ = 1 x (\ln|x|)'=\dfrac{1}{x} (lnx)=x1

(9) ( tan ⁡ x ) ′ = sec ⁡ 2 x (\tan x)'=\sec ^2x (tanx)=sec2x

(11) ( sec ⁡ x ) ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x (\sec x)'=\sec x\tan x (secx)=secxtanx

(14) ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (arccosx)=1x2 1



6.求导法则

(0)结论:奇偶性、周期性、分段函数分段点

1.奇偶函数可导的性质
①f是奇函数,则 f ′ f' f为偶函数;f是偶函数,则 f ′ f' f为奇函数 【奇函数的导数为偶函数,偶函数的导数为奇函数】
②奇函数在x=0点处的偶次阶导数均为0,即: f ( x ) f(x) f(x)为奇函数 ⇔ \Leftrightarrow f ( 2 n ) ( 0 ) = 0 f^{(2n)}(0)=0 f(2n)(0)=0
偶函数在x=0点处的奇次阶导数均为0,即: f ( x ) f(x) f(x)为偶函数 ⇔ \Leftrightarrow f ( 2 n + 1 ) ( 0 ) = 0 f^{(2n+1)}(0)=0 f(2n+1)(0)=0

2.周期函数可导的性质:
f ( x ) f(x) f(x)是可导的以T为周期的周期函数,则 f ′ ( x ) f'(x) f(x)也是以T为周期的周期函数

3.分段函数在分段点的导数:用导数定义



例题1:17年9.
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分析:奇偶性
f(x)是偶函数,则 f ′ ′ ′ ( x ) f'''(x) f′′′(x)为奇函数,则 f ′ ′ ′ ( 0 ) = 0 f'''(0)=0 f′′′(0)=0

答案:0


例题2:
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答案:周期性+奇偶性
①周期性:f(x)是可导的以2π为周期的周期函数,则 f ′ ′ ′ ( x ) f'''(x) f′′′(x)也是以2π为周期的周期函数,则 f ′ ′ ′ ( 2 π ) = f ′ ′ ′ ( 0 ) f'''(2π)=f'''(0) f′′′(2π)=f′′′(0)
②奇偶性:可验证, f ( x ) f(x) f(x)为偶函数,则 f ′ ′ ′ ( x ) f'''(x) f′′′(x)为奇函数。由奇函数的性质,可得 f ′ ′ ′ ( 0 ) = 0 f'''(0)=0 f′′′(0)=0



(1)有理运算法则

①和、差的导数:
②乘法导数:
③除法导数:

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(2)复合函数:链式求导法则 (链导法)

u = g ( x ) u=g(x) u=g(x) x x x处可导, y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)相应点处可导【 g ′ ( x 0 ) g'(x_0) g(x0)存在, f ′ [ g ( x 0 ) ] f'[g(x_0)] f[g(x0)]存在】,则复合函数 y = f ( g ( x ) ) y=f(g(x)) y=f(g(x)) x x x处可导,且
d y d x = d y d u ⋅ d u d x = f ′ ( u ) g ′ ( x ) \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}·\dfrac{du}{dx}=f'(u)g'(x) dxdy=dudydxdu=f(u)g(x)

由(1)、(2)可解决初等函数的导数 (和差积商、复合)



例题1:23李林四(三)11.
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分析:
在这里插入图片描述
答案: 3 8 + 1 4 ln ⁡ 2 \dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{4}\ln2 83+41ln2



(3)隐函数求导法

y ′ ′ ( 0 ) y''(0) y′′(0)
①令x=0,得y(0)
②两边求导,代入x=0、y(0),得 y ′ ( 0 ) y'(0) y(0)
③再两边求导,代入x=0、y(0)、 y ′ ( 0 ) y'(0) y(0),得 y ′ ′ ( 0 ) y''(0) y′′(0)


1.概念:
y = y ( x ) y=y(x) y=y(x)是由方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0 确定,无法明确求出 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x)的具体表达式,称 y ( x ) y(x) y(x)为隐函数。


2.方法:
①等式两边求导:隐函数求导:直接两边求导后,直接代入。不必化简为y’ = 多少
②隐函数求导公式: d y d x = − F x ′ F y ′ \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F'_x}{F'_y} dxdy=FyFx


(4)参数方程求导法

一阶: d y d x = d y d t d x d t \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} dxdy=dtdxdtdy
二阶: d 2 y d x 2 = d ( d y d x ) d x = d ( d y d x ) d t d x d t = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) x ′ 3 ( t ) \dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d(\dfrac{dy}{dx})}{dx}=\dfrac{\dfrac{d(\dfrac{dy}{dx})}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{x'^3(t)} dx2d2y=dxd(dxdy)=dtdxdtd(dxdy)=x′3(t)y′′(t)x(t)x′′(t)y(t)


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例题1:10年9.
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分析:
法一:链式求导
在这里插入图片描述

法二:公式法: d 2 y d x 2 = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) x ′ 3 ( t ) \dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{x'^3(t)} dx2d2y=x′3(t)y′′(t)x(t)x′′(t)y(t)

答案:0


例题2:23李林六套卷(六)12.   参数方程 + 导数定义
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分析:
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答案:4



(5)反函数的导数

一阶反函数的导数: φ ′ ( y ) = 1 f ′ ( x ) φ'(y)=\dfrac{1}{f'(x)} φ(y)=f(x)1

二阶反函数的导数: φ ′ ′ ( y ) = − f ′ ′ ( x ) f ′ 3 ( x ) φ''(y)=-\dfrac{f''(x)}{f'^3(x)} φ′′(y)=f′3(x)f′′(x)     【注意:求φ’'(1),是y=1,此时x等于多少还需要代入原式求x的值】

推导:
d x d y = 1 d y d x = 1 y ′ \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}=\dfrac{1}{y'} dydx=dxdy1=y1


d 2 x d y 2 = d ( d x d y ) d y = d ( d x d y ) d x d x d y = − y ′ ′ ( y ′ ) 2 1 y ′ = − y ′ ′ ( y ′ ) 3 \dfrac{d^2x}{dy^2}=\dfrac{d(\dfrac{dx}{dy})}{dy}=\dfrac{d(\dfrac{dx}{dy})}{dx}\dfrac{dx}{dy}=-\dfrac{y''}{(y')^2}\dfrac{1}{y'}=-\dfrac{y''}{(y')^3} dy2d2x=dyd(dydx)=dxd(dydx)dydx=(y)2y′′y1=(y)3y′′

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(6)对数求导法

由于和差的导数比乘除的导数运算简单,因此取对数,利用对数的运算法则,可将乘除的导数变为和差的导数。例如表达式:多个因式的乘除、乘幂、幂指函数的形式【连乘、连除、乘方、开方】


(7)高阶导数

(1)4个常用的高阶导数公式
( sin ⁡ x ) ( n ) = sin ⁡ ( x + n π 2 ) (\sin x)^{(n)}=\sin(x+\dfrac{nπ}{2}) (sinx)(n)=sin(x+2)

( cos ⁡ x ) ( n ) = cos ⁡ ( x + n π 2 ) (\cos x)^{(n)}=\cos(x+\dfrac{nπ}{2}) (cosx)(n)=cos(x+2)

( u ± v ) ( n ) = u ( n ) ± v ( n ) (u±v)^{(n)}=u^{(n)}±v^{(n)} (u±v)(n)=u(n)±v(n)

( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( k ) v ( n − k ) (uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^n{\rm C}_n^ku^{(k)}v^{(n-k)} (uv)(n)=k=0nCnku(k)v(nk)   【乘法的n阶导数公式:莱布尼茨公式】

1 1 + x 、 ln ⁡ ( 1 + x ) \dfrac{1}{1+x}、\ln(1+x) 1+x1ln(1+x)的n阶导数,没必要背,求1阶、2阶,归纳n阶导数规律 即可


(2)求1阶,2阶导数归纳n阶导数的规律

例如: ( 1 x + a ) ( n ) = ( − 1 ) n n ! ( x + a ) n + 1 (\dfrac{1}{x+a})^{(n)}=(-1)^n\dfrac{n!}{(x+a)^{n+1}} (x+a1)(n)=(1)n(x+a)n+1n!,这种公式没必要背,现推很快的。


(3)泰勒公式: f ( n ) ( x 0 ) = a n ⋅ n ! f^{(n)}(x_0)=a_n·n! f(n)(x0)=ann!
f ( x ) = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) 2 + a 3 ( x − x 0 ) 3 + . . . + a n ( x − x 0 ) n + o ( ( x − x 0 ) n ) ( x → x 0 ) f(x)=a₀+a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+a₃(x-x₀)³+...+a_n(x-x₀)^n+o((x-x₀)^n) (x→x₀) f(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+a3(xx0)3+...+an(xx0)n+o((xx0)n)(xx0)

总结:
(1)n阶导数公式、(2)求1阶2阶导数归纳规律:用于求n阶导函数 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)
(3)泰勒公式:用于求具体点 x 0 x_0 x0的n阶导数 f ( n ) ( x 0 ) f^{(n)}(x_0) f(n)(x0)



例题1:16年12.   泰勒公式
在这里插入图片描述
分析:
高数:第二章:一元函数微分学_第17张图片
答案: 1 2 \dfrac{1}{2} 21


例题2:
在这里插入图片描述

分析:
法一:求一阶、二阶、三阶导数,归纳规律
法二:泰勒公式 f ( n ) ( 0 ) = a n ⋅ n ! f^{(n)}(0)=a_n·n! f(n)(0)=ann!
高数:第二章:一元函数微分学_第18张图片
答案: ( − 1 ) n ⋅ 2 n ⋅ n ! 3 n + 1 \dfrac{(-1)^n·2^n·n!}{3^{n+1}} 3n+1(1)n2nn!


例题3:880 多元 综合填空3
在这里插入图片描述


例题4:武钟祥每日一题 24-Day60  啊,我“拆”开了!
在这里插入图片描述

分析:




二、微分中值定理与导数应用

高数:第二章:一元函数微分学_第19张图片

1.微分中值定理

(0)费马引理

高数:第二章:一元函数微分学_第20张图片


(1)罗尔定理

罗尔定理:如果函数f(x)满足:
(1)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续
(2)在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内可导
(3)在区间端点处的函数值相等,即 f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)
那么在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内至少有一点 ξ ( a < ξ < b ) ξ (a<ξξ(a<ξ<b),使得 f ′ ( ξ ) = 0 f'(ξ)=0 f(ξ)=0 ∃ ξ ∈ ( a , b ) ,使 f ′ ( ξ ) = 0 \existξ∈(a,b),使 f'(ξ)=0 ξ(a,b),使f(ξ)=0

高数:第二章:一元函数微分学_第21张图片



(2)拉格朗日中值定理

若函数f(x)满足:
(1)在闭区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续
(2)在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内可导
那么在开区间 ( a , b ) (a,b) (a,b) 内至少有一点ξ (a<ξョξ∈(a,b),使得
f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) ( a < ξ < b ) 或 f ′ ( ξ ) = f ( b ) − f ( a ) b − a ( a < ξ < b ) f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)\qquad (a<ξf(b)f(a)=f(ξ)(ba)(a<ξ<b)f(ξ)=baf(b)f(a)(a<ξ<b)
高数:第二章:一元函数微分学_第22张图片
高数:第二章:一元函数微分学_第23张图片

1.罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系:
①罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例:f(a)=f(b),则f’(ξ)=0
②拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广


2.拉朗转化功能
f ( b ) − f ( a ) b − a \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} baf(b)f(a)不会操作,转化为 f ′ ( ξ ) f'(ξ) f(ξ)
f ( b ) − f ( a ) f(b)-f(a) f(b)f(a)不好操作,转化为 ( b − a ) f ′ ( ξ ) (b-a)f'(ξ) (ba)f(ξ)
f ′ ( b ) − f ′ ( a ) f'(b)-f'(a) f(b)f(a)不好操作,转化为 ( b − a ) f ′ ′ ( ξ ) (b-a)f''(ξ) (ba)f′′(ξ)


3.证明拉格朗日中值定理:构造辅助函数,用罗尔定理
高数:第二章:一元函数微分学_第24张图片


(3)柯西中值定理

高数:第二章:一元函数微分学_第25张图片

证明:①是传统的辅助函数,但难于验证F(a)=F(b)   ②是更好的辅助函数,更易得F(a)=F(b)
高数:第二章:一元函数微分学_第26张图片


(4)泰勒中值定理 (泰勒公式拉格朗日余项)

高数:第二章:一元函数微分学_第27张图片

佩阿诺余项:局部性态,研究极限
拉格朗日余弦:整体性态,研究中值定理


总结

1.四大中值定理的本质
①罗尔、拉朗、柯西 三者建立了函数值与一阶导数的联系 f ( x ) ⇦⇨ f ′ ( x ) f(x)⇦⇨f'(x) f(x)⇦⇨f(x)。给函数,证导数 / 给导数,证函数。
②泰勒中值定理:函数值 f ( x ) f(x) f(x)与高阶导数 f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f(n)(x)

2.四者的关系:
罗尔定理 ⇌ 推广 特例 拉格朗日中值定理 ⇌ 推广 特例 柯西中值定理 罗尔定理 \underset{特例}{\xrightleftharpoons{推广}} 拉格朗日中值定理\underset{特例}{\xrightleftharpoons{推广}}柯西中值定理 罗尔定理特例推广 拉格朗日中值定理特例推广 柯西中值定理
但是,拉朗和柯西都是通过 罗尔定理+构造辅助函数 证明出来的

高数:第二章:一元函数微分学_第28张图片


微分中值定理的证明题

(1)单中值:证明存在一个点ξ∈(a,b),使 g [ ξ , f ( ξ ) , f ′ ( ξ ) ] = 0 g[ξ,f(ξ),f'(ξ)]=0 g[ξ,f(ξ),f(ξ)]=0

方法:构造辅助函数,用罗尔定理

构造辅助函数的三种方法:
1.分析法(还原法)
观察分析,确定辅助函数F(x),使得 F ′ ( x ) = g [ ξ , f ( ξ ) , f ′ ( ξ ) ] F'(x)=g[ξ,f(ξ),f'(ξ)] F(x)=g[ξ,f(ξ),f(ξ)]。且F(x)有两个端点函数值相等,用罗尔定理可得 F ′ ( x ) = g [ ξ , f ( ξ ) , f ′ ( ξ ) ] = 0 F'(x)=g[ξ,f(ξ),f'(ξ)]=0 F(x)=g[ξ,f(ξ),f(ξ)]=0


2.微分方程法
①求微分方程 g [ x , y , y ′ ] = 0 g[x,y,y']=0 g[x,y,y]=0的通解 H ( x , y ) = C H(x,y)=C H(x,y)=C
②设辅助函数: F ( x ) = H ( x , f ( x ) ) F(x)=H(x,f(x)) F(x)=H(x,f(x))


3.常用辅助函数:【辅导讲义P79】
ξ f ′ ( ξ ) + n f ( ξ ) = 0 ξf'(ξ)+nf(ξ)=0 ξf(ξ)+nf(ξ)=0,令 F ( x ) = x n f ( x ) F(x)=x^nf(x) F(x)=xnf(x)

ξ f ′ ( ξ ) − n f ( ξ ) = 0 ξf'(ξ)-nf(ξ)=0 ξf(ξ)nf(ξ)=0,令 F ( x ) = f ( x ) x n F(x)=\dfrac{f(x)}{x^n} F(x)=xnf(x)

f ′ ( ξ ) + λ f ( ξ ) = 0 f'(ξ)+λf(ξ)=0 f(ξ)+λf(ξ)=0,令 F ( x ) = e λ x f ( x ) F(x)=e^{λx}f(x) F(x)=eλxf(x)

f ′ ( ξ ) + g ( ξ ) f ( ξ ) = 0 f'(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0 f(ξ)+g(ξ)f(ξ)=0,令 F ( x ) = e ∫ g ( x ) d x f ( x ) F(x)=e^{\int g(x)dx}f(x) F(x)=eg(x)dxf(x)


(2)双中值:证明存在两个中值点 ξ,η∈(a,b),使 g [ ξ , η , f ( ξ ) , f ( η ) , f ′ ( ξ ) , f ′ ( η ) ] = 0 g[ξ,η,f(ξ),f(η),f'(ξ),f'(η)]=0 g[ξ,η,f(ξ),f(η),f(ξ),f(η)]=0

1.方法:
(1)不要求 ξ ≠ η ξ≠η ξ=η
在同一区间[a,b]上用两次中值定理(拉格朗日、柯西中值定理)

(2)要求 ξ ≠ η ξ≠η ξ=η
将区间[a,b]分为两个子区间,在两个子区间上分别用拉格朗日中值定理

难点和关键点:两个子区间上分界点的选取:
①用第一问的结论
②逆推法:先假设一个分界点c,(a,c)和(c,b)上各用一次拉格朗日中值定理,代入要证明的条件,观察 f ( c ) f(c) f(c)的选取。【辅导讲义P83例5】


(3)高阶导数:证明存在一个中值点 ξ∈(a,b),使 g [ ξ , f ( n ) ( ξ ) ] ≥ 0   ( n ≥ 2 ) g[ξ,f^{(n)}(ξ)]≥0 \ (n≥2) g[ξ,f(n)(ξ)]0 (n2)

方法:用带拉格朗日余项的泰勒公式展开点 x 0 x_0 x0选提供函数值和导数值信息多的点。(当提供函数值、提供导数值信息一样多,如都各自提供一个,此时选提供导数值的点展开,然后分别令x=提供函数值的点,代入泰勒公式 【辅导讲义P85例题2】)



2.泰勒公式

泰勒公式的伟大意义:
①建立了函数值与高阶导数之间的联系: f ( x ) ⇦⇨ f ( n ) ( x ) f(x)⇦⇨f^{(n)}(x) f(x)⇦⇨f(n)(x) 【题目出现了n阶导数,应该要想到泰勒公式】
②用多项式逼近。多项式求极限、求导数、求积分都比较简单。

高数:第二章:一元函数微分学_第29张图片


(1)泰勒中值定理1:佩亚诺余项,局部泰勒公式,用于极限的计算

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + f ′ ′ ′ ( x 0 ) 3 ! ( x − x 0 ) 3 + . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + o ( ( x − x 0 ) n ) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dfrac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+2!f′′(x0)(xx0)2+3!f′′′(x0)(xx0)3+...+n!f(n)(x0)(xx0)n+o((xx0)n)

佩亚诺余项(用于计算极限): R n ( x ) = o ( ( x − x 0 ) n ) R_n(x)=o((x-x_0)^n) Rn(x)=o((xx0)n)


(2)泰勒中值定理2:拉格朗日余项,整体泰勒公式,用于证明

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + f ′ ′ ′ ( x 0 ) 3 ! ( x − x 0 ) 3 + . . . + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dfrac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+...+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+2!f′′(x0)(xx0)2+3!f′′′(x0)(xx0)3+...+n!f(n)(x0)(xx0)n+Rn(x)

拉格朗日余项(用于证明): R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 ( x 0 < ξ < x ) R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} (x_0<ξRn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1x0<ξ<x


(3)麦克劳林公式

原式 泰勒展开 (写到3阶)
e x e^x ex 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + o ( x 3 ) 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3) 1+x+2!x2+3!x3+o(x3)
sin ⁡ x \sin x sinx x − x 3 3 ! + x 5 5 ! + o ( x 5 ) x-\dfrac{x³}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5) x3!x3+5!x5+o(x5)
cos ⁡ x \cos x cosx 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! + o ( x 4 ) 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+o(x^4) 12!x2+4!x4+o(x4)
a r c s i n x \rm arcsinx arcsinx x + x 3 3 ! + o ( x 3 ) x+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3) x+3!x3+o(x3)
1 1 − x \dfrac{1}{1-x} 1x1 1 + x + x 2 + x 3 + o ( x 3 ) 1+x+x^2+x^3+o(x^3) 1+x+x2+x3+o(x3)
1 1 + x \dfrac{1}{1+x} 1+x1 1 − x + x 2 − x 3 + o ( x 3 ) 1-x+x^2-x^3+o(x^3) 1x+x2x3+o(x3)
ln ⁡ ( 1 + x ) \ln(1+x) ln(1+x) x − x 2 2 + x 3 3 x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3} x2x2+3x3 − x 4 4 + . . . + ( − 1 ) n + 1 x n n + o ( x n ) -\dfrac{x^4}{4}+...+(-1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n) 4x4+...+(1)n+1nxn+o(xn)
1 1 + x 2 \dfrac{1}{1+x^2} 1+x21 1 − x 2 + x 4 − x 6 + . . . 1-x^2+x^4-x^6+... 1x2+x4x6+...
a r c t a n x {\rm arctan}x arctanx x − x 3 3 + x 5 5 + . . . x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+... x3x3+5x5+...
t a n x {\rm tan}x tanx x + x 3 3 + o ( x 3 ) x+\dfrac{x³}{3}+o(x³) x+3x3+o(x3)
( 1 + x ) α (1+x)^α (1+x)α 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + . . . + α ( α − 1 ) . . . ( α − n + 1 ) n ! x n + o ( x n ) 1+αx+\dfrac{α(α-1)}{2!}x^2+...+\dfrac{α(α-1)...(α-n+1)}{n!}x^n+o(x^n) 1+αx+2!α(α1)x2+...+n!α(α1)...(αn+1)xn+o(xn)

3.单调性与极值、最值

(1)函数的极值

1.极值的定义
设函数f(x)在点 x 0 x_0 x0的某邻域 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)内有定义,如果对于去心邻域 U ˚ ( x 0 ) Ů(x_0) U˚(x0)内的任一x,【极值是局部形态】
恒有 f ( x ) < f ( x 0 ) f(x)f(x)<f(x0),则称 x 0 x_0 x0 f ( x ) f(x) f(x)的一个极大值点,称 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)是函数 f ( x ) f(x) f(x)的一个极大值。
恒有 f ( x ) > f ( x 0 ) f(x)>f(x_0) f(x)>f(x0),则称 x 0 x_0 x0 f ( x ) f(x) f(x)的一个极小值点,称 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)是函数 f ( x ) f(x) f(x)的一个极小值。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点。

极大值可能小于极小值,没有大小关系

高数:第二章:一元函数微分学_第30张图片


2.极值的判定
(1)极值的必要条件
y = f ( x ) y=f(x) y=f(x),① x 0 x_0 x0是极值点 + ② f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_0 x0处可导 ⇨ x 0 x_0 x0是驻点,即 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f(x0)=0
【意思是:①可导函数f(x)的极值点,一定是它的驻点。②驻点不一定是极值点,如f(x)=x³ ③函数f(x)的极值点,不一定是它的驻点,因为极值点处可能不可导。如f(x)=|x|】

(1)可能的极值点:
①驻点,即 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f(x0)=0
②不可导点,即 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f(x0)不存在
(2)普通函数f(x)的极值点与驻点没有关系
高数:第二章:一元函数微分学_第31张图片


(2)极值的充分条件:
极值第一充分条件 x 0 x_0 x0两侧:① f ′ ( x ) f'(x) f(x)变号 或 f ( x ) f(x) f(x)单调性相反
Ⅰ.极大值 f ′ ( x ) f'(x) f(x)由正变负 或 f ( x ) f(x) f(x)由单增变单减
Ⅱ.极小值 f ′ ( x ) f'(x) f(x)由负变正 或 f ( x ) f(x) f(x)由单减变单增
Ⅲ.没有极值 f ′ ( x ) f'(x) f(x)不变号 或 f ( x ) f(x) f(x)单调性不变


极值第二充分条件
设函数f(x)在 x 0 x_0 x0处具有二阶导数且 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)=0,f''(x_0)≠0 f(x0)=0,f′′(x0)=0,则
Ⅰ.当 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′ ′ ( x 0 ) < 0 f'(x_0)=0,f''(x_0)<0 f(x0)=0f′′(x0)<0时,函数f(x)在 x 0 x_0 x0处取得极大值
Ⅱ.当 f ′ ( x 0 ) = 0 , f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)=0,f''(x_0)>0 f(x0)=0f′′(x0)>0时,函数f(x)在 x 0 x_0 x0处取得极小值


极值第三充分条件
y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) x 0 x_0 x0的某邻域内有n阶导数,且
f ′ ( x 0 ) = f ′ ′ ( x 0 ) = . . . = f ( n − 1 ) ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0 f(x0)=f′′(x0)=...=f(n1)(x0)=0,但 f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0 f^{(n)}(x_0)≠0 f(n)(x0)=0,则
(1)n为偶数,则 x 0 x_0 x0 f ( x ) f(x) f(x)极值点。且 f ( n ) ( x 0 ) > 0 f^{(n)}(x_0)>0 f(n)(x0)>0为极小值, f ( n ) ( x 0 ) < 0 f^{(n)}(x_0)<0 f(n)(x0)<0为极大值
(2)n为奇数,f(x)在 x 0 x_0 x0处无极值,但 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点

高数:第二章:一元函数微分学_第32张图片


(2)函数的最大值、最小值

1.求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值:
①求出(a,b)内所有驻点和不可导点
②求出驻点函数值、不可导点函数值、端点函数值。
③比较大小,最大的为最大值,最小的最小值

注:若函数f(x)在(a,b)内仅有唯一极值点,则唯一极值点处就取得最值


2.最大最小值应用题:
①建立目标函数
②求最大值最小值


4.曲线的凹凸性与拐点

(1)凹凸性

(1)凹:判定方法:
①定义: f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2)
②二阶导: f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f′′(x)>0
③曲线形状: 曲线是凹的


(2)凸:判定方法:
①定义: f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f(\dfrac{x_1+x_2}{2})>\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} f(2x1+x2)>2f(x1)+f(x2)
②二阶导: f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x)<0 f′′(x)<0
③曲线形状: 曲线是凸的


在这里插入图片描述


(2)拐点

高数:第二章:一元函数微分学_第33张图片

1.拐点的定义 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))是曲线上的点,一对坐标。
拐点 x 0 x_0 x0两侧凹凸性改变:凹→凸、凸→凹


2.拐点的判定:(一个必要,三个充分)
(1)拐点的必要条件 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=0 f′′(x0)=0 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f′′(x0)不存在
(2)拐点的充分条件:
拐点的第一充分条件 x 0 x_0 x0左右两侧 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x) 异号 或 f ′ ( x ) f'(x) f(x) x 0 x_0 x0两侧单调性相反
拐点的第二充分条件 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 , f ′ ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f''(x_0)=0,f'''(x_0)≠0 f′′(x0)=0f′′′(x0)=0
拐点的第三充分条件:若 f ′ ′ ( x 0 ) = f ′ ′ ′ ( x 0 ) = . . . = f ( n − 1 ) ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=f'''(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0 f′′(x0)=f′′′(x0)=...=f(n1)(x0)=0,但 f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0 f^{(n)}(x_0)≠0 f(n)(x0)=0,n为奇数【最高次导数为奇数阶导数不为0,为拐点】【2到n-1阶导为0,不要求1阶导为0】

奇数阶导数不为0:拐点  ;举例: f ′ ( x 0 ) = f ′ ′ ( x 0 ) = f ′ ′ ′ ( x 0 ) = f ( 4 ) ( x 0 ) = 0 , f ( 5 ) ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)=f''(x_0)=f'''(x_0)=f^{(4)}(x_0)=0,f^{(5)}(x_0)≠0 f(x0)=f′′(x0)=f′′′(x0)=f(4)(x0)=0,f(5)(x0)=0,则 x 0 x_0 x0为拐点
偶数阶导数不为0:极值点  ;举例: f ′ ( x 0 ) = f ′ ′ ( x 0 ) = f ′ ′ ′ ( x 0 ) = 0 , f ( 4 ) ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)=f''(x_0)=f'''(x_0)=0,f^{(4)}(x_0)≠0 f(x0)=f′′(x0)=f′′′(x0)=0,f(4)(x0)=0,则 x 0 x_0 x0为极值点


3.极值点 vs 拐点:
(1)极值点是x轴上的点 x = x 0 x=x_0 x=x0,拐点是曲线上的点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)
(2)点的必要条件、第一第二充分条件,就是极值的必要条件、第一第二充分条件抬高一阶
(3)①可导函数的可导的点,不能同时出现极值点和拐点: x 0 x_0 x0若为极值点,则 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))不会是拐点。若 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))为拐点,则 x 0 x_0 x0不会是极值点。
不可导的点(如分段函数分界点),可以同时出现极值点和拐点
即, f ( x ) f(x) f(x) x = x 0 x=x_0 x=x0不可导, x = x 0 x=x_0 x=x0 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) (x0,f(x0))可以同时是 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的极值点与拐点。 【660 T161】


5.曲线的渐近线

(1)渐近线的本质:割线的极限位置
(2)分析顺序:①铅直渐渐线→ ②水平渐近线(双向)→ ③斜渐近线(双向)
(3)铅直渐近线可以有无数条,而 水平渐近线+斜渐近线 最多只能有2条,为x轴的正向和负向


①水平渐近线 (双向)

水平渐近线有+∞和-∞两个方向

若有 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = c \lim\limits_{x→+∞}f(x)=c x+limf(x)=c 或者 lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) = c \lim\limits_{x→-∞}f(x)=c xlimf(x)=c
则称 y = c y=c y=c为曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的水平渐近线


②铅直渐近线 (找无穷间断点)

在这里插入图片描述

有无穷间断点a,则 x=a 为曲线的铅直渐近线


斜渐近线 (双向)

斜渐近线也有+∞和-∞两个方向。有该方向上的水平渐近线,则无该方向上的斜渐近线。即,水平渐近线 + 斜渐近线 ≤ 2

若有 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) x = a ≠ 0 \lim\limits_{x→+∞}\dfrac{f(x)}{x}=a≠0 x+limxf(x)=a=0 lim ⁡ x → + ∞ ( f ( x ) − a x ) = b \lim\limits_{x→+∞}(f(x)-ax)=b x+lim(f(x)ax)=b
或者 lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) x = a ≠ 0 \lim\limits_{x→-∞}\dfrac{f(x)}{x}=a≠0 xlimxf(x)=a=0 lim ⁡ x → − ∞ ( f ( x ) − a x ) = b \lim\limits_{x→-∞}(f(x)-ax)=b xlim(f(x)ax)=b
则称 y = a x + b y=ax+b y=ax+b为曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的斜渐近线

快速求斜渐近线

若 y = f ( x ) = a x + b + α ( x ) , α ( x ) → 0 【线性函数+无穷小量】。则 y = f ( x ) 有斜渐近线 y = a x + b 若y=f(x)=ax+b+α(x),α(x)→0【线性函数+无穷小量】。则y=f(x)有斜渐近线y=ax+b y=f(x)=ax+b+α(x)α(x)0【线性函数+无穷小量】。则y=f(x)有斜渐近线y=ax+b


6.平面曲线的曲率

曲率的定义:描述函数在一点处的弯曲程度。 K = lim ⁡ Δ s → 0 ∣ Δ α Δ s ∣ K=\lim\limits_{Δs→0}|\dfrac{Δα}{Δs}| K=Δs0limΔsΔα

曲率的计算: K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}} K=(1+y′2)23y′′

曲率半径: R = 1 K R=\dfrac{1}{K} R=K1


7.方程的根:存在性、个数

1.根的存在性
①方法一:零点定理
②方法二:罗尔定理

2.根的个数
①方法一:单调性
②方法二:罗尔定理推论

罗尔定理推论:若在区间 I \rm I I f ( n ) ( x ) ≠ 0 f^{(n)}(x)≠0 f(n)(x)=0,则方程 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0 最多有 n n n 个实根

3.做题步骤:
(1)构造函数,令 f ( x ) = . . . f(x)=... f(x)=... 【则 原方程有根 ⇔ \Leftrightarrow f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0
(2)求 f ′ ( x ) f'(x) f(x),令 f ′ ( x ) = 0 f'(x)=0 f(x)=0,得驻点
(3)根据驻点分区间讨论单调性


8.函数不等式的证明

(1)证明不等式的5种常用方法

单调性
②最大最小值
③拉格朗日中值定理

④泰勒公式
⑤凹凸性


(2)基本不等式

2 a b ≤ a 2 + b 2 2ab≤a^2+b^2 2aba2+b2

sin ⁡ x < x < tan ⁡ x , x ∈ ( 0 , π 2 ) \sin xsinx<x<tanxx(0,2π)

x 1 + x < ln ⁡ ( 1 + x ) < x , x ∈ ( 0 , + ∞ ) \dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)1+xx<ln(1+x)<xx(0,+)   ⇨   1 n + 1 < ln ⁡ ( 1 + 1 n ) < 1 n \dfrac{1}{n+1}<\ln(1+\dfrac{1}{n})<\dfrac{1}{n} n+11<ln(1+n1)<n1

1 + x ≤ e x 1+x≤e^x 1+xex

⑤放缩常用不等式:
∣ a ± b ∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣ b ∣ ≤ 2 max ⁡ { ∣ a ∣ , ∣ b ∣ } |a±b|≤|a|+|b|≤2\max\{|a|,|b|\} a±ba+b2max{a,b}

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