伸展树

引用：http://digital.cs.usu.edu/~allan/DS/Notes/Ch22.pdf

一、简介：
伸展树，或者叫自适应查找树，是一种用于保存有序集合的简单高效的数据结构。伸展树实质上是一个二叉查找树。允许查找，插入，删除，删除最小，删除最大，分割，合并等许多操作，这些操作的时间复杂度为O(logN)。由于伸展树可以适应需求序列，因此他们的性能在实际应用中更优秀。
伸展树支持所有的二叉树操作。伸展树不保证最坏情况下的时间复杂度为O(logN)。伸展树的时间复杂度边界是均摊的。尽管一个单独的操作可能很耗时，但对于一个任意的操作序列，时间复杂度可以保证为O(logN)。
二、自调整和均摊分析：
    平衡查找树的一些限制：
1、平衡查找树每个节点都需要保存额外的信息。
2、难于实现，因此插入和删除操作复杂度高，且是潜在的错误点。
3、对于简单的输入，性能并没有什么提高。
    平衡查找树可以考虑提高性能的地方：
1、平衡查找树在最差、平均和最坏情况下的时间复杂度在本质上是相同的。
2、对一个节点的访问，如果第二次访问的时间小于第一次访问，将是非常好的事情。
3、90-10法则。在实际情况中，90%的访问发生在10%的数据上。
4、处理好那90%的情况就很好了。
三、均摊时间边界：
在一颗二叉树中访问一个节点的时间复杂度是这个节点的深度。因此，我们可以重构树的结构，使得被经常访问的节点朝树根的方向移动。尽管这会引入额外的操作，但是经常被访问的节点被移动到了靠近根的位置，因此，对于这部分节点，我们可以很快的访问。根据上面的90-10法则，这样做可以提高性能。
为了达到上面的目的，我们需要使用一种策略──旋转到根(rotate-to-root)。具体实现如下：
旋转分为左旋和右旋，这两个是对称的。图示：
 
为了叙述的方便，上图的右旋叫做X绕Y右旋，左旋叫做Y绕X左旋。
下图展示了将节点3旋转到根：
 
                            图1
首先节点3绕2左旋，然后3绕节点4右旋。
注意：所查找的数据必须符合上面的90-10法则，否则性能上不升反降！！
四、基本的自底向上伸展树：
    应用伸展（splaying）技术，可以得到对数均摊边界的时间复杂度。
    在旋转的时候，可以分为三种情况：
1、zig情况。
    X是查找路径上我们需要旋转的一个非根节点。
    如果X的父节点是根，那么我们用下图所示的方法旋转X到根：
     
                                图2
    这和一个普通的单旋转相同。
2、zig-zag情况。
在这种情况中，X有一个父节点P和祖父节点G（P的父节点）。X是右子节点，P是左子节点，或者反过来。这个就是双旋转。
先是X绕P左旋转，再接着X绕G右旋转。
如图所示：
 
                            图三
3、zig-zig情况。
    这和前一个旋转不同。在这种情况中，X和P都是左子节点或右子节点。
    先是P绕G右旋转，接着X绕P右旋转。
    如图所示：
     
                                    图四
    下面是splay的伪代码：
    P(X) : 获得X的父节点，G(X) : 获得X的祖父节点（=P(P(X))）。
    Function Buttom-up-splay:
        Do
            If X 是 P(X) 的左子结点 Then
                If G(X) 为空 Then
                    X 绕 P（X）右旋
                Else If P（X）是G（X）的左子结点
                    P(X) 绕G(X)右旋
                    X 绕P(X)右旋
                Else
                    X绕P(X)右旋
                    X绕P(X)左旋 (P(X)和上面一句的不同，是原来的G(X))
                Endif
            Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
                If G(X) 为空 Then
                    X 绕 P（X）左旋
                Else If P（X）是G（X）的右子结点
                    P(X) 绕G(X)左旋
                    X 绕P(X)左旋
                Else
                    X绕P(X)左旋
                    X绕P(X)右旋 (P(X)和上面一句的不同，是原来的G(X))
                Endif 
            Endif
        While (P(X) != NULL)
    EndFunction
    仔细分析zig-zag，可以发现，其实zig-zag就是两次zig。因此上面的代码可以简化：
    Function Buttom-up-splay:
        Do
            If X 是 P(X) 的左子结点 Then
                If P（X）是G（X）的左子结点
                    P(X) 绕G(X)右旋
                Endif
                X 绕P(X)右旋
            Else If X 是 P(X) 的右子结点 Then
                If P（X）是G（X）的右子结点
                    P(X) 绕G(X)左旋
                Endif 
                X 绕P(X)左旋
            Endif
        While (P(X) != NULL)
    EndFunction
    下面是一个例子，旋转节点c到根上。 
 
                                    图五
五、基本伸展树操作：
1、插入：
    当一个节点插入时，伸展操作将执行。因此，新插入的节点在根上。
2、查找：
    如果查找成功（找到），那么由于伸展操作，被查找的节点成为树的新根。
如果查找失败（没有），那么在查找遇到NULL之前的那个节点成为新的根。也就是，如果查找的节点在树中，那么，此时根上的节点就是距离这个节点最近的节点。
3、查找最大最小：
        查找之后执行伸展。
4、删除最大最小：
a)删除最小：
    首先执行查找最小的操作。
这时，要删除的节点就在根上。根据二叉查找树的特点，根没有左子节点。
使用根的右子结点作为新的根，删除旧的包含最小值的根。
b)删除最大：
首先执行查找最大的操作。
删除根，并把被删除的根的左子结点作为新的根。
5、删除：
        将要删除的节点移至根。
        删除根，剩下两个子树L（左子树）和R（右子树）。
        使用DeleteMax查找L的最大节点，此时，L的根没有右子树。
        使R成为L的根的右子树。
        如下图示：
         
                                图六
六、自顶向下的伸展树：
    在自底向上的伸展树中，我们需要求一个节点的父节点和祖父节点，因此这种伸展树难以实现。因此，我们可以构建自顶向下的伸展树。
    当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。和前面的自下而上相同，自上而下也分三种情况：
1、zig：
 
                                图七
    如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。读者可以分析一下树的结构，原因很简单。
2、zig-zig:
 
                                图八
    在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。
3、zig-zag:
 
                            图九
    在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况）。
    最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：
 
                                图十
    将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。
    下面给出伪代码：
    右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。
    左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。
    T ： 当前的根节点。
Function Top-Down-Splay 
     Do 
          If X 小于 T Then 
               If X 等于 T 的左子结点 Then  
                 右连接 
               ElseIf X 小于 T 的左子结点 Then 
                 T的左子节点绕T右旋 
                 右连接 
               Else X大于 T 的左子结点 Then 
                 右连接 
                 左连接 
               EndIf    
          ElseIf X大于 T Then 
               IF X 等于 T 的右子结点 Then 
                 左连接 
               ElseIf X 大于 T 的右子结点 Then 
                 T的右子节点绕T左旋 
                 左连接 
               Else X小于 T 的右子结点‘ Then 
                 左连接 
                 右连接 
               EndIf 
          EndIf 
     While  ！(找到 X或遇到空节点) 
      组合左中右树 
EndFunction

 

    同样，上面的三种情况也可以简化：
    Function Top-Down-Splay
        Do 
              If X 小于 T Then 
                   If X 小于 T 的左孩子 Then 
                     T的左子节点绕T右旋 
                   EndIf    
                右连接 
              Else If X大于 T Then 
                   If X 大于 T 的右孩子 Then 
                     T的右子节点绕T左旋
                   EndIf 
左连接 
         EndIf 
While  !(找到 X或遇到空节点) 
组合左中右树 
    EndFuntion

    下面是一个查找节点19的例子：
    在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。
 
    这个例子是查找节点c：
 
最后，给一个用C语言实现的例子：

 

/*
                An implementation of top-down splaying
                    D. Sleator <[email protected]>
                             March 1992
 */
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
 int size;  /* number of nodes in the tree */
           /* Not actually needed for any of the operations */
typedef struct tree_node Tree;
 struct tree_node
{
    Tree * left, * right;
    int item;
};

Tree * splay (int i, Tree * t)
{
 /* Simple top down splay, not requiring i to be in the tree t.  */
 /* What it does is described above.                             */
    Tree N, *l, *r, *y;
    if (t == NULL)
        return t;
    N.left = N.right = NULL;
    l = r = &N;
    for (;;)
    {
        if (i < t->item)
        {
            if (t->left == NULL)
            {
                break;
            }
            if (i < t->left->item)
            {
                y = t->left;                           /* rotate right */
                t->left = y->right;
                y->right = t;
                t = y;
                if (t->left == NULL)
                {
                    break;
                }
            }
            r->left = t;                               /* link right */
            r = t;
            t = t->left;
        }
        else if (i > t->item)
        {
            if (t->right == NULL)
            {
                break;
            }
            if (i > t->right->item)
            {
                y = t->right;                          /* rotate left */
                t->right = y->left;
                y->left = t;
                t = y;
                if (t->right == NULL)
                {
                    break;
                }
            }
            l->right = t;                              /* link left */
            l = t;
            t = t->right;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
    l->right = t->left;                                /* assemble */
    r->left = t->right;
    t->left = N.right;
    t->right = N.left;
    return t;
}
 /* Here is how sedgewick would have written this.                    */
/* It does the same thing.                                           */
Tree * sedgewickized_splay (int i, Tree * t)
{
    Tree N, *l, *r, *y;
    if (t == NULL)
    {
        return t;
    }
    N.left = N.right = NULL;
    l = r = &N;
    for (;;)
    {
        if (i < t->item)
        {
            if (t->left != NULL && i < t->left->item)
            {
                y = t->left;
                t->left = y->right;
                y->right = t;
                t = y;
            }
            if (t->left == NULL)
            {
                break;
            }
            r->left = t;
            r = t;
            t = t->left;
        }
        else if (i > t->item)
        {
            if (t->right != NULL && i > t->right->item)
            {
                y = t->right;
                t->right = y->left;
                y->left = t;
                t = y;
            }
            if (t->right == NULL)
            {
                break;
            }
            l->right = t;
            l = t;
            t = t->right;
        }
        else
        {
            break;
        }
    }
    l->right=t->left;
    r->left=t->right;
    t->left=N.right;
    t->right=N.left;
    return t;
}

Tree * insert(int i, Tree * t)
{
/* Insert i into the tree t, unless it's already there.    */
/* Return a pointer to the resulting tree.                 */
    Tree * new1;

    new1 = (Tree *) malloc (sizeof (Tree));
    if (new1 == NULL)
    {
        printf("Ran out of space\n");
        exit(1);
    }
    new1->item = i;
    if (t == NULL)
    {
        new1->left = new1->right = NULL;
        size = 1;
        return new1;
    }
    t = splay(i,t);
    if (i < t->item)
    {
        new1->left = t->left;
        new1->right = t;
        t->left = NULL;
        size ++;
        return new1;
    }
    else if (i > t->item)
    {
        new1->right = t->right;
        new1->left = t;
        t->right = NULL;
        size++;
        return new1;
    }
    else
    {
        /* We get here if it's already in the tree */
        /* Don't add it again                      */
        free(new1);
        return t;
    }
}

Tree * delete1(int i, Tree * t)
{
/* Deletes i from the tree if it's there.               */
/* Return a pointer to the resulting tree.              */
    Tree * x;
    if (t==NULL)
    {
        return NULL;
    }
    t = splay(i,t);
    if (i == t->item)
    {               /* found it */
        if (t->left == NULL)
        {
            x = t->right;
        }
        else
        {
            x = splay(i, t->left);
            x->right = t->right;
        }
        size--;
        free(t);
        return x;
    }
    return t;                         /* It wasn't there */
}

int main(int argv, char *argc[])
{
/* A sample use of these functions.  Start with the empty tree,         */
/* insert some stuff into it, and then delete it                        */
    Tree * root;
    int i;
    root = NULL;              /* the empty tree */
    size = 0;
    for (i = 0; i < 1024; i++)
    {
        root = insert((541*i) & (1023), root);
    }
    printf("size = %d\n", size);
    for (i = 0; i < 1024; i++)
    {
        root = delete1((541*i) & (1023), root);
    }
    printf("size = %d\n", size);
}