数据结构--并查集

一、并查集的概念

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（disjoint sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

最裸并查集：

1. 合并元素a和元素b 所在的集合。
2. 查询元素a和元素b 是否属于同一组。是否在一个集合当中 ，近乎 O(1) 时间内支持两个操作

分组和对应的例子

二、并查集的结构

并查集是树形结构。不过，不是二叉树。
每个元素对应一个节点，每个组对应一颗树。
在并查集中，哪个节点是哪个节点的父亲以及树的形状等信息不用关注，整体是树形结构才最重要

1. 初始化

每个元素初始化时，分别是每一个集合的根节点 p[x] = x

2. 合并

和下面图一样，从一个组的根向另一个组的跟连边，将两棵树变成 一颗树，也就是两个组变成一个组

3. 查询

为了查询两个节点是否同一组，只要沿着树向上走，查询根节点是否相同，根节点相同时同一组，否则不同组。如上图中 （2）（5）的根是 （1），而（7）的根是（6） 所以（2）和（5）是同一组，但是（2）和（7）不是同一组。

并查集实现的注意点

在树形数据结构中，如果发生退化情况（二叉树退化为一维链表），那么时间复杂度会变的很高。在并查集中，只需按照如下方法就可以避免退化。

• 对于每棵树，记录树的高度（rank）
• 合并时，如果两棵树的rank不同，那么rank小的向rank大的连边。

此外，通过路径压缩，可以使并查集更高效率。对于每个节点，一旦向上走到了一次根节点，就把这个点到父亲的边改成为直接连向根。
如需要查询（7），就可以直接将（7）连接到根上。

在此之上，不仅查询的节点，所有在查询过程中经过的所有节点，都可以直接连接到根上。再次查询时，就可以很快查询到根是谁了。
如下，将（2）（3）（4）（5）都连接到（1）中。

在使用这种化简方法时，为了简单起见，即使树的高度发生变换，也不再修改rank。

查并集的复杂度

加入两个优化后，查并集的效率非常高。对n个元素的查并集进行一次操作的复杂度为O(a(n))。在这里a(n)时阿克曼(Ackermann)函数的反函数。这要比O(log(n))还要快。

不过，这是“均摊复杂度”。并不是每次都满足，多次后，平均每次复杂度。

并查集的实现

Acwing 836 合并集合

#include 
using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int p[N];

int find(int x) // 返回x的祖宗节点 + 路径压缩
{
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;
    
    while(m --)
    {
        char op[2];
        int a, b;
        scanf("%s%d%d", op, &a, &b);
        
        if(op[0] == 'M') p[find(a)] = find(b);
        else{
            if(find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
    }
    
    return 0;
}