交换瓶子(图论,环)

题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/1226/

题目
有 N 个瓶子，编号 1∼N，放在架子上。

比如有 5 个瓶子：

2 1 3 5 4

要求每次拿起 2 个瓶子，交换它们的位置。

经过若干次后，使得瓶子的序号为：

1 2 3 4 5

对于这么简单的情况，显然，至少需要交换 2 次就可以复位。

如果瓶子更多呢？你可以通过编程来解决。

输入格式
第一行包含一个整数 N，表示瓶子数量。

第二行包含 N 个整数，表示瓶子目前的排列状况。

输出格式
输出一个正整数，表示至少交换多少次，才能完成排序。

数据范围
1≤N≤10000,

输入样例1：

5
3 1 2 5 4

输出样例1：

3

输入样例2：

5
5 4 3 2 1

输出样例2：

2

思路:

1、先把每个位置和瓶子的位置连起来

例如
位置:1 2 3 4 5
瓶子:3 1 2 5 4

那么可以得到两个环:
第一个环:1->3->2->1
第二个环:4->5->4

2、讨论交换两个瓶子对环造成的影响

情况一(两个瓶子在一个环内)
例如把上面的3和1交换

位置:1 2 3 4 5
瓶子:1 3 2 5 4

原来的环1会变为两个环
第一个环:1->1
第二个环:2->3->2

情况二(两个瓶子不在一个环内)
例如把上面的3和5交换

位置:1 2 3 4 5
瓶子:5 1 2 3 4

那么原来的两个环会变为一个环
1->5->4->3->2->1

综上可知交换瓶子对环会造成两种影响
因为我们的目标是把现在所有的环(k个)都变为自环(n个)
而由交换瓶子对环的影响可知,每次最多只能增加一个环
所以,交换瓶子的最少次数就为n-k
那么只要找到现在所有的环数,即可算出答案

AC代码

#include 
#include 

const int N = 10010;

int n,cnt;
int b[N];
bool st[N]; // 判重数组(用来帮助找环)

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d",&b[i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            cnt++;
            for(int j = i; !st[j]; j = b[j]) st[j] = true;
            
        }
    }
    printf("%d\n",n-cnt);
    return 0;
}