微积分 - 导数

1、导数的定义

导数，也为叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念，导数可以理解为自变量的变化趋势，下面用一个图去展示：

当 y = f ( x ) 的自变量 x 在一点 上产生一个增量 Δ x 时，函数输出值的增量 Δ y与自变量增量 Δ x 的比值在 Δ x 趋于 0 的极限 如果存在，那么有：

2、左右导数

左导数： 函数 f ( x ) 在某点  的某一左半领域 ( − Δ x , ) 内有定义，当 Δ x 从左侧无限趋近于 0  时

的左极限存在，那么就称 f ( x ) 在  点有左导数，该极限值就是左导数的值

右导数： 函数 f ( x ) 在某点  的某一右半领域 (，  + Δ x ) 内有定义，当 Δ x 从右侧无限趋近于 0  时

的右极限存在，那么就称 f ( x ) 在  点有右导数，该极限值就是右导数的值

下面的绝对值函数的左导数和右导数不相同，左导数是 − 1 ，右导数是 + 1 ，0  位置不可导 f ( x ) = ∣ x ∣ 

3、可导函数

函数可导的条件如下：

• 函数在该点的去心邻域内有定义。
• 函数在该点处的左、右导数都存在。
• 左导数＝右导数

4、函数求导公式

原函数	导函数
f(x)= C，C 是常数	f '(x) = 0
f(x)= ，n 是常数且n ≠ 0	f '(x) =
f(x)= lnx	f '(x) =
f(x)=   a > 0且 a ≠ 1	f '(x) =
f(x)=	f '(x) =
f(x)=	f '(x) =
f(x)= sinx	f '(x) = cosx
f(x)=cosx	f '(x) = -sinx

5、导数的四则运算

导数加减： 

导数乘法：

导数除法：

6、复合函数求导法则

其求导有链式法则：

画出关系图：y → u → x ，可见从 y  到 x  有一条路径，每一段路径（对应一个导数）相乘起来。
这个规则推广到多元复合函数也是适用的：

7、泰勒级数

若函数 f ( x ) 在包含 的某个开区间 ( a , b ) 上具有 ( n + 1 ) 阶导数，那么对于任意 x ∈ ( a , b ) 有：