【Dive into Deep Learning |动手学深度学习(李沐)】4.4 模型选择、欠拟合和过拟合--学习笔记

目录

  • 训练误差和泛化误差
    • 验证数据集和测试数据集
      • K-折交叉验证
    • 小结
  • 过拟合和欠拟合
    • VC维
      • 线性分类器的VC维
    • 数据复杂度
    • 小结
  • 代码实现
    • 生成数据集
    • 对模型进行训练和测试
    • 三阶多项式函数拟合(正常)
    • 线性函数拟合(欠拟合)
    • 高阶多项式函数拟合(过拟合)
  • 总结

训练误差和泛化误差

  • 训练误差:模型在训练数据上的误差
  • 泛化误差:模型在新数据上的误差
    我们更关注泛化误差,而非训练误差。

验证数据集和测试数据集

  • 验证数据集:一个用来评估模型好坏的数据集。
  • 测试数据集:只用一次的数据集。
    还有一个训练数据集,用来训练模型;验证数据集是用来验证模型的好坏,从而进行模型优化;而测试数据集是最终用来评定模型的数据集。举个例子,训练数据集就是平时为了考试而做的题,验证数据集就是模拟考比如月考、期中考,测试数据集则代表了最终的考试。

K-折交叉验证

在没有足够多数据时使用
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如下图所示,3-折交叉验证,分别选取第1、2、3块数据作为验证集,其余作为训练集。
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小结

  • 训练数据集:训练模型参数
  • 验证数据集:选择模型超参数
  • 非大数据集上通常使用k-折交叉验证

过拟合和欠拟合

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模型容量:

  • 拟合各种函数的能力
  • 低容量的模型难以拟合训练数据
  • 高容量的模型可以记住所有的训练数据
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VC维

  • 统计学习理论的一个核心思想
  • 对于一个分类模型,VC等于一个最大的数据集的大小,不管如何给定标号,都存在一个模型对它进行完美分类。
    换句话说,VC维是函数类可以拟合的样本的最大数量。
    具体来说,给定一个二分类函数类,如果存在一个大小为d的样本集合,这个函数类能够对这个集合中的任意标签进行正确分类,而不能对大小为d+1的样本集合进行正确分类,那么这个函数类的VC维就是d。

线性分类器的VC维

2维输入的感知机,VC维=3;它能够分类任何三个点,但不是4个(XOR)

  • 支持N维输入的感知机的VC维是N+1
  • 一些多层感知机的VC维O(Nlog2N)

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VC的用处

  • 提供一个模型为什么好的理论依据
    • 它可以衡量训练误差和泛化误差之间的间隔
  • 但是深度学习中很少使用
    • 衡量不是很准确
    • 计算深度学习的VC维很困难

数据复杂度

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小结

  • 模型容量需要匹配数据复杂度,否则可能导致欠拟合和过拟合
  • 统计机器学习提供数学工具来衡量模型复杂度
  • 实际中一般靠观察训练误差和验证误差

代码实现

生成数据集

导包

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

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max_degree = 20  # 多项式的最大阶数
n_train, n_test = 100, 100  # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 分配大量的空间
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

在这里插入图片描述

# NumPy ndarray转换为tensor
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]

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对模型进行训练和测试

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  #@save
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    metric = d2l.Accumulator(2)  # 损失的总和,样本数量
    for X, y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]

函数的逻辑如下:

  1. 初始化一个metric变量,它是一个d2l.Accumulator对象,用于累加损失的总和和样本数量。
  2. 对于数据集中的每个样本,通过data_iter迭代器遍历。 将样本X输入模型net,得到输出out。
  3. 由于y的形状可能与out不一致,需要通过y.reshape(out.shape)调整y的形状。
  4. 使用损失函数loss计算模型在当前样本上的损失值l。
  5. 使用metric.add(l.sum(),l.numel())将当前损失值和样本数量累加到metric中。
  6. 最后,返回平均损失值,即metric[0] / metric[1],其中metric[0]表示损失的总和,metric[1]表示样本的数量。
    训练函数
def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    #损失函数为均方误差损失函数
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # 不设置偏置,因为我们已经在多项式中实现了它
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False)) #线性模型
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0]) #小批量数据的大小
    #加载训练集和测试集的数据
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    #优化函数
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    #可视化的动画
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    #开始每轮训练
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

loss = nn.MSELoss(reduction='none')PyTorch中的均方误差(Mean Squared Error,MSE)损失函数的定义。其中,reduction参数设置为’none’表示不进行降维操作。
reduction参数控制损失函数的降维方式,有以下选项:

  • ‘none’:不进行降维,返回与输入形状相同的张量,每个元素表示对应样本的均方误差。
  • ‘mean’:将所有样本的均方误差求平均,返回一个标量。
  • ‘sum’:将所有样本的均方误差求和,返回一个标量。

三阶多项式函数拟合(正常)

在这里插入图片描述

# 从多项式特征中选择前4个维度,即1,x,x^2/2!,x^3/3!
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

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线性函数拟合(欠拟合)

# 从多项式特征中选择前2个维度,即1和x
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

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高阶多项式函数拟合(过拟合)

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从多项式特征中选取所有维度,学到了很多噪音

# 从多项式特征中选取所有维度
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)

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总结

  • 欠拟合是指模型无法继续减少训练误差。过拟合是指训练误差远小于验证误差。
  • 由于不能基于训练误差来估计泛化误差,因此简单地最小化训练误差并不一定意味着泛化误差的减小。机器学习模型需要注意防止过拟合,即防止泛化误差过大。
  • 验证集可以用于模型选择,但不能过于随意地使用它。
  • 我们应该选择一个复杂度适当的模型,避免使用数量不足的训练样本。

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