【Dive into Deep Learning |动手学深度学习（李沐）】4.4 模型选择、欠拟合和过拟合--学习笔记

训练误差和泛化误差

• 训练误差：模型在训练数据上的误差
• 泛化误差：模型在新数据上的误差
  我们更关注泛化误差，而非训练误差。

验证数据集和测试数据集

• 验证数据集：一个用来评估模型好坏的数据集。
• 测试数据集：只用一次的数据集。
  还有一个训练数据集，用来训练模型；验证数据集是用来验证模型的好坏，从而进行模型优化；而测试数据集是最终用来评定模型的数据集。举个例子，训练数据集就是平时为了考试而做的题，验证数据集就是模拟考比如月考、期中考，测试数据集则代表了最终的考试。

K-折交叉验证

在没有足够多数据时使用

如下图所示，3-折交叉验证，分别选取第1、2、3块数据作为验证集，其余作为训练集。

小结

• 训练数据集：训练模型参数
• 验证数据集：选择模型超参数
• 非大数据集上通常使用k-折交叉验证

过拟合和欠拟合

模型容量：

• 拟合各种函数的能力
• 低容量的模型难以拟合训练数据
• 高容量的模型可以记住所有的训练数据
  

VC维

• 统计学习理论的一个核心思想
• 对于一个分类模型，VC等于一个最大的数据集的大小，不管如何给定标号，都存在一个模型对它进行完美分类。
  换句话说，VC维是函数类可以拟合的样本的最大数量。
  具体来说，给定一个二分类函数类，如果存在一个大小为d的样本集合，这个函数类能够对这个集合中的任意标签进行正确分类，而不能对大小为d+1的样本集合进行正确分类，那么这个函数类的VC维就是d。

线性分类器的VC维

2维输入的感知机，VC维=3；它能够分类任何三个点，但不是4个(XOR）

• 支持N维输入的感知机的VC维是N+1
• 一些多层感知机的VC维O(Nlog2N)

VC的用处

• 提供一个模型为什么好的理论依据
  • 它可以衡量训练误差和泛化误差之间的间隔
• 但是深度学习中很少使用
  • 衡量不是很准确
  • 计算深度学习的VC维很困难

数据复杂度

小结

• 模型容量需要匹配数据复杂度，否则可能导致欠拟合和过拟合
• 统计机器学习提供数学工具来衡量模型复杂度
• 实际中一般靠观察训练误差和验证误差

代码实现

生成数据集

导包

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

max_degree = 20  # 多项式的最大阶数
n_train, n_test = 100, 100  # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 分配大量的空间
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

# NumPy ndarray转换为tensor
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]

对模型进行训练和测试

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  #@save
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    metric = d2l.Accumulator(2)  # 损失的总和,样本数量
    for X, y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]

函数的逻辑如下：

1. 初始化一个metric变量，它是一个d2l.Accumulator对象，用于累加损失的总和和样本数量。
2. 对于数据集中的每个样本，通过data_iter迭代器遍历。 将样本X输入模型net，得到输出out。
3. 由于y的形状可能与out不一致，需要通过y.reshape(out.shape)调整y的形状。
4. 使用损失函数loss计算模型在当前样本上的损失值l。
5. 使用metric.add(l.sum(),l.numel())将当前损失值和样本数量累加到metric中。
6. 最后，返回平均损失值，即metric[0] / metric[1]，其中metric[0]表示损失的总和，metric[1]表示样本的数量。
   训练函数

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    #损失函数为均方误差损失函数
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # 不设置偏置，因为我们已经在多项式中实现了它
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False)) #线性模型
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0]) #小批量数据的大小
    #加载训练集和测试集的数据
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    #优化函数
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    #可视化的动画
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    #开始每轮训练
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

loss = nn.MSELoss(reduction='none')PyTorch中的均方误差（Mean Squared Error，MSE）损失函数的定义。其中，reduction参数设置为’none’表示不进行降维操作。
reduction参数控制损失函数的降维方式，有以下选项：

• ‘none’：不进行降维，返回与输入形状相同的张量，每个元素表示对应样本的均方误差。
• ‘mean’：将所有样本的均方误差求平均，返回一个标量。
• ‘sum’：将所有样本的均方误差求和，返回一个标量。

三阶多项式函数拟合(正常)

# 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

线性函数拟合(欠拟合)

# 从多项式特征中选择前2个维度，即1和x
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

高阶多项式函数拟合(过拟合)

从多项式特征中选取所有维度，学到了很多噪音

# 从多项式特征中选取所有维度
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)

总结

• 欠拟合是指模型无法继续减少训练误差。过拟合是指训练误差远小于验证误差。
• 由于不能基于训练误差来估计泛化误差，因此简单地最小化训练误差并不一定意味着泛化误差的减小。机器学习模型需要注意防止过拟合，即防止泛化误差过大。
• 验证集可以用于模型选择，但不能过于随意地使用它。
• 我们应该选择一个复杂度适当的模型，避免使用数量不足的训练样本。