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数值分析学习笔记——误差【华科B站教程版本】

误差

误差：一个物理量的真实值与计算值之间的误差

误差来源与分类

  • 模型误差：对问题所抽象出来的数学/物理模型是误差的，比如要有一些假设条件才进行理论的推导
  • 观测误差：测量得到的模型的参数的值的误差
  • 方法误差（截断误差）：求近似解的方法的误差
  • 舍入误差：计算机字长有限，例如计算机所存储的PI值和实际的PI值之间是有误差的、浮点数误差

在使用数值方法解决问题的时候，要重点考虑方法误差和舍入误差

案例：近似计算 ∫ 0 1 e − x 2 d x \int_0^1{e^{-x^2}}dx ∫01​e−x2dx

【值范围估计】

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【数值方法计算】

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从上面可知，数值计算所得到定积分的值是0.743，且该值与原定积分值（0.747… …）的误差不超过0.006

误差的传播与积累

有一个天气预报程序，有下面两种计算方式

  • 直接演算完两周的变化过程，得到最终的结果
  • 先计算一周的变化过程，然后将数据存储下来，接着计算第二周的变化过程

上面两种方式得到的结果可能天差地别，因为中途将数据输出为文件时需要对数字取有限的位数，这就出现了舍入误差，这个误差随着积累越来越大，最终造成两种方式所求得的结果差异较大

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对于一些病态问题，可能一开始只是有一点小误差，但是随着计算过程的积累，最后所得到的结果会有巨大的失真

案例

在这里插入图片描述

方法一

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【算法稳定性分析】

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方法二

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总结

误差是不可回避的，在使用一个算法之前，需要先分析算法的稳定性

绝对误差与相对误差

绝对误差

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相对误差

使用绝对误差不太容易衡量误差的大小，用相对误差转化为百分比的数更容易看出来

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有效数字

有效数字位数：从小数点的最后一位开始数，数到最前面不为零的数字，如0.1的有效数字位数是1，1.1的有效数字位数是2

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上面内容的数学描述如下：

在这里插入图片描述

案例

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12300应该写成，0.12300x10^5，这样有效数字的位数才是不变的

有效数字与相对误差限

有效数字推导相对误差限

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相对误差限推导有效数字

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案例

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函数的误差估计

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案例（1）

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案例（2）

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算法设计的注意事项

在算法设计的时候需要考虑误差的传播和累积，在使用计算机进行实现的时候需要注意如下方面：

避免相近的两个数相减

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避免分母太小（会造成浮点溢出）

尽量不要用大数除以小数，不然数字很大，计算机字长有限，舍入误差较大

避免大数吃小数

避免 大数和小数 之间 相加或者相减

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数值分析学习笔记——误差【华科B站教程版本】_第24张图片

求和时 从小到大 相加，可以使得 和的误差 减小

如果想用大数 加 小数，可能会出现大数吃小数的情况

在这里插入图片描述

先化简再计算，避免误差累积

一般来说，计算机处理下列运算的速度为 加减>乘除>exp()，可以先尽量将运算化简为 加减、乘除，再进行计算

选用稳定的算法

说明

文章为本人学习网上课程的学习笔记，课程的链接为 《数值分析》2020年春季华中科技大学研究生课程 46讲合辑，文章中大部分图片来源于课程截图，部分图片中加上了本人的理解标注，如有侵权，麻烦联系删除，最后对老师的课程表示衷心的感谢。

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    不止一次，看到很多讲技术的文章里面出现过这个词语。今天终于弄懂了——通过朋友给的浏览软件，上了wiki。  我再一次感到，没有辞典能像WiKi一样，给出这样体贴人心、一清二楚的解释了。为了表达我对WiKi的喜爱，只好在此一一中英对照，给大家上次课。   In computer science, bleeding edge is a term that
  • c中实现utf8和gbk的互转 jimmee ciconvutf8&gbk编码
    #include <iconv.h> #include <stdlib.h> #include <stdio.h> #include <unistd.h> #include <fcntl.h> #include <string.h> #include <sys/stat.h> int code_c
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    1.大型网站软件系统的特点？ a.高并发，大流量。 b.高可用。 c.海量数据。 d.用户分布广泛，网络情况复杂。 e.安全环境恶劣。 f.需求快速变更，发布频繁。 g.渐进式发展。 2.大型网站架构演化发展历程？ a.初始阶段的网站架构。 应用程序，数据库，文件等所有的资源都在一台服务器上。 b.应用服务器和数据服务器分离。 c.使用缓存改善网站性能。 d.使用应用
  • 在代码中获取Android theme中的attr属性值 OliveExcel androidtheme
    Android的Theme是由各种attr组合而成, 每个attr对应了这个属性的一个引用, 这个引用又可以是各种东西.   在某些情况下, 我们需要获取非自定义的主题下某个属性的内容 (比如拿到系统默认的配色colorAccent), 操作方式举例一则: int defaultColor = 0xFF000000; int[] attrsArray = { andorid.r.
  • 基于Zookeeper的分布式共享锁 roadrunners zookeeper分布式共享锁
    首先，说说我们的场景，订单服务是做成集群的，当两个以上结点同时收到一个相同订单的创建指令，这时并发就产生了，系统就会重复创建订单。等等......场景。这时，分布式共享锁就闪亮登场了。   共享锁在同一个进程中是很容易实现的，但在跨进程或者在不同Server之间就不好实现了。Zookeeper就很容易实现。具体的实现原理官网和其它网站也有翻译，这里就不在赘述了。   官
  • 两个容易被忽略的MySQL知识 tomcat_oracle mysql
    1、varchar(5)可以存储多少个汉字，多少个字母数字？ 　　相信有好多人应该跟我一样，对这个已经很熟悉了，根据经验我们能很快的做出决定，比如说用varchar(200)去存储url等等，但是，即使你用了很多次也很熟悉了，也有可能对上面的问题做出错误的回答。 　　这个问题我查了好多资料，有的人说是可以存储5个字符，2.5个汉字（每个汉字占用两个字节的话），有的人说这个要区分版本，5.0
  • zoj 3827 Information Entropy(水题) 阿尔萨斯 format
    题目链接：zoj 3827 Information Entropy 题目大意：三种底，计算和。 解题思路：调用库函数就可以直接算了，不过要注意Pi = 0的时候，不过它题目里居然也讲了。。。limp→0+plogb(p)=0，因为p是logp的高阶。 #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath&
按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他