素数因子分解

原创

给定某个正整数 N，求其素因子分解结果，即给出其因式分解表达式 N=p​1​​​k​1​​​​⋅p​2​​​k​2​​​​⋯p​m​​​k​m​​​​。
输入格式：
输入long int范围内的正整数 N。
输出格式：
按给定格式输出N的素因式分解表达式，即 N=p1^k1*p2k2…pm^km，其中pi为素因子并要求由小到大输出，指数ki为pi的个数；当ki为1即因子pi只有一个时不输出ki。
输入样例：
1323
输出样例：
1323=3^3*72

猛地一看像是（深搜+剪枝 处理因式分解）。仔细一想并不是。

首先，我看到题的时候第一反应是这个输出有问题，如果按照输出要求，素因子分解不唯一怎么办？

你看，还是知识点有盲区吧，数学基础踏实了，根本不会有这种问题。数学上有正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数均可写为质数的积，而且这些素因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

这个定理是用反证法证明的。

假设存在某些数，它们有至少两种分解方法。那么根据上文提到的“非空正整数集里存在最小的元素”，一定有一个最小的数M，它能用至少两种方法表示成质数的乘积：
M = P1 * P2 * … * Pr = Q1 * Q2 * … * Qs
下面我们将看到，这种假设会推出一个多么荒谬的结果来。不妨设P1 <= P2 <= … <= Pr, Q1 <= Q2 <= … <= Qs。显然，P1是不等于Q1的，不然两边同时约掉它，我们就得到一个更小的有两种分解方法的数。不妨设P1 < Q1，那么我们用P1替换掉等式最右边中的Q1，得到一个比M更小的数T = P1 * Q2 * Q3 * … * Qs。令M’ = M – T，我们得到M’的两种表达：
M’ = (P1 * P2 * … * Pr) – (P1 * Q2 * … * Qs) = P1 * (P2 * .. * Pr – Q2 * … * Qs) …… (1)
M’ = (Q1 * Q2 * … * Qs) – (P1 * Q2 * … * Qs) = (Q1 – P1) * Q2 * … * Qs ……………… (2)
由于T比M小，因此M’是正整数。从(1)式中我们立即看到，P1是M’的一个质因子。注意到M’比M小，因此它的质因数分解方式应该是唯一的，可知P1也应该出现在表达式(2)中。既然P1比所有的Q都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某个Q，于是只可能被包含在因子(Q1-P1)里。但这就意味着，(Q1-P1)/P1除得尽，也就是说Q1/P1-1是一个整数，这样Q1/P1也必须得是整数。我们立即看出，P1必须也是Q1的一个因子，这与Q1是质数矛盾了。这说明，我们最初的假设是错误的。

反正就是求出一个等式来保证了程序的完备性。

在解决这个问题之前请思考：输出格式。因为是它肯定给出了算法要求。

按给定格式输出N的素因式分解表达式，即 N=p1^k1*p2k2…pm^km，其中pi为素因子并要求由小到大输出，指数ki为pi的个数；当ki为1即因子pi只有一个时不输出ki。

输出格式首先是个等式并且肯定有等式满足。

其实吧，这就是个数学问题，数学好的这个题水到渠成。

1，等式怎样满足，请思考。

2，如何尽可能少的在long int范围内判断素数，请思考。

3，表达式底数从小到大排序，如何实现，请思考。

4，指数如何实现，请思考。

对于第一个问题。

满足等式可以用整除（即余数为0）判断解决。

对于第二个问题，很有必要在第一问整除除数必须要是素数。所以用数组记录数是否是素数是需要的，故埃氏筛选法首选。

对于第三个问题

for循环，用vector记录，数组也行。

对于第四个问题，到这儿你会发现，第四个问题好难解决。不要慌，你能发现可以利用第三问，如果可以整除就把数记录，那么如果记录的数如果一样那么指数++；遍历也往后推移。

OK，上代码

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

int main()

{

    vectorP;

    int A[10000]={0};

    int i,j;

    for(i=2;i<10000;i++)

    {

        if(A[i])

        {

            for(j=i*i;j<10000;j+=i)

            {

                A[j]=1;

            }

        }

    }//艾氏筛选法筛选素数

    long n;

    cin>>n;

    cout<

over，只要数学好，啥题都能做。