【学习笔记】CF1610F Mashtali: a Space Oddysey

感觉智商还是不太够

正常人的做法：答案上界是显然的，就是$\sum w$为奇数的点的个数，因为限制很松。但是直接构造比较棘手，考虑两条边$(x,v)$和$(v,y)$，如果这两条边的权值也相同，那么可以在原图中将$(x,v)$和$(v,y)$删掉，然后加入$(x,y)$这条边。这样每次操作后，边的数目会减少$1$。一直这样操作下去，最后每个点的度数不会超过$2$，因此是若干环和链，显然从链的端点或者环上任意一点开始定向即可。

具体实现方式是：枚举$x$以及出边$v$，然后再找到$v$的一条出边$y$，将$(x,v)$和$(v,y)$删掉，加入边$(x,y)$，然后$v$赋值成$y$，继续寻找$y$的出边。写代码的时候要先把$(x,v)$这条边删掉，直到$x$的所有出边都扩展完了过后再加回来。最后还原方案只需建立二叉树然后从根节点开始遍历即可（和$\text{kruskal}$重构树比较类似）。

复杂度$O(n+m)$。但是比较难写，估计要调半天。

聪明人的做法：考虑欧拉回路。本质上就是利用了回路上出边和入边数目相同来构造，但是这道题的建图方式比较难。

考虑建立$2n+1$个点（因为$1$和$2$其实本质上是对称的，所以把点复制一遍），建边方式如下：

$1.1$ 对于边权为$1$的边$(u,v)$，加入边$(u,v)$
$1.2$ 对于边权为$2$的边$(u,v)$，加入边$(u+n,v+n)$
$1.3$ 设$d_i(j)$表示$j$连了多少条度为$i$的边，如果$d_1(u)$和$d_2(u)$都为奇数，加入边$(u,u+n)$；如果只有$d_1(u)$为奇数，加入边$(u,2n+1)$；如果只有$d_2(u)$为奇数，加入边$(u+n,2n+1)$

跑欧拉回路，然后根据前两类边的方向就可以确定原图中边的方向。

代码很简单。但是确实比较难想到

我是小丑，所以写了第一种做法。

#include
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=6e5+5;
int n,m,ok[N],vs[N],vs2[N],U[N],V[N],W[N],du[N],du2[N],cnt,tot;
pair<int,int>ans[N];
vector<int>s[N][2];
vector<int>vec;
vector<int>G[N];
vector<int>G2[N];
int get(int x,int y){
    if(y==U[x])return V[x];
    return U[x];
}
void dfs(int i,int pre,int j){
    while(s[i][j].size()&&vs[s[i][j].back()]){
        s[i][j].pop_back();
    }if(s[i][j].size()==0){
        vec.pb(pre);
        return;
    }int t=s[i][j].back();
    vs[t]=1,s[i][j].pop_back();
    cnt++,U[cnt]=get(pre,i),V[cnt]=get(t,i),vs[cnt]=1;
    G[cnt].pb(t),G[cnt].pb(pre),du2[t]++,du2[pre]++;
    dfs(V[cnt],cnt,j);
}
void dfs2(int u){
    while(G2[u].size()&&vs2[G2[u].back()])G2[u].pop_back();
    if(G2[u].size()==0)return;
    int t=G2[u].back();G2[u].pop_back();
    vs2[t]=1,ans[t]={u,get(t,u)},dfs2(get(t,u));
}
void dfs3(int u){
    if(G[u].size()){
        int l=G[u][0],r=G[u][1];
        if(V[l]==U[r]){
            ans[l]={U[l],V[l]},ans[r]={U[r],V[r]};
        }
        else if(U[l]==U[r]){
            ans[l]={V[l],U[l]},ans[r]={U[r],V[r]};
        }
        else if(V[l]==V[r]){
            ans[l]={U[l],V[l]},ans[r]={V[r],U[r]};
        }
        else{
            ans[l]={V[l],U[l]},ans[r]={V[r],U[r]};
        }if(ans[l].fi!=ans[u].fi){
            swap(ans[l].fi,ans[l].se);
            swap(ans[r].fi,ans[r].se);
        }
        dfs3(l),dfs3(r);
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m,cnt=m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v,w;cin>>u>>v>>w,w--;
        s[u][w].pb(i),s[v][w].pb(i);
        if(w==0)ok[u]^=1,ok[v]^=1;
        U[i]=u,V[i]=v,W[i]=w;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<2;j++){
            while(1){
                while(s[i][j].size()&&vs[s[i][j].back()])s[i][j].pop_back();
                if(s[i][j].size()==0)break;
                int t=s[i][j].back();s[i][j].pop_back();
                vs[t]=1,dfs(get(t,i),t,j);
            }while(vec.size()){
                int t=vec.back();vec.pop_back();
                vs[t]=0,s[U[t]][j].pb(t),s[V[t]][j].pb(t);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<2;j++){
            while(1){
                while(s[i][j].size()&&vs[s[i][j].back()])s[i][j].pop_back();
                if(s[i][j].size()==0)break;
                int t=s[i][j].back();s[i][j].pop_back();
                vs[t]=1;int k=get(t,i);
                du[i]++,du[k]++,G2[i].pb(t),G2[k].pb(t);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)if(du[i]==1)dfs2(i);
    for(int i=1;i<=n;i++)dfs2(i);
    for(int i=1;i<=cnt;i++)if(du2[i]==0)dfs3(i);
    for(int i=1;i<=n;i++)tot+=ok[i];
    cout<<tot<<"\n";
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(ans[i].fi==U[i])cout<<1;
        else cout<<2;
    }
}