Acwing AcWing 524. 愤怒的小鸟

参考题目
AcWing 524. 愤怒的小鸟

题目描述

Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于 $(0,0)$ 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟， 小鸟们的飞行轨迹均为形如 $y=a{x}^2+bx$ 的曲线，其中 $a,b$ 是 Kiana 指定的参数，且必须满足 $a<0$。

当小鸟落回地面（即 $x$ 轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 $n$ 只绿色的小猪，其中第 $i$ 只小猪所在的坐标为 $(xi,yi)$。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 $(xi,yi)$，那么第 i 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 $(xi,yi)$，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 $i$ 只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于 $(1,3)$ 和 $(3,3)$，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 $y=-x^2+4x$ 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个这个游戏。

这些指令将在输入格式中详述。

假设这款游戏一共有 $T$ 个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。

由于她不会算，所以希望由你告诉她。

---

算法：

状态压缩DP：$O(T(n^3+n{2}^n))$

抛物线问题
抛物线经过原点，所以 $c=0$ ，那么只需要两个点就可以确定一条抛物线，下面考虑如何表示这个变量。

path数组
path[i][j] 表示编号为 i 的小猪和编号为 j 的的小猪所在的抛物线，变量的属性表示可消灭的小猪(编号)的二进制表示。
eg：path[2][3] = 10111 表示由 2 号猪和 3 号猪确定的抛物线可以消灭 1, 2, 3, 5号小猪。

f数组
状态表示： f[i] 表示击败 i 状态下所需要的最少的小鸟数量。
状态计算： 第一步，找到当前 i 状态下没有被消灭的小猪的编号 x 。第二步，枚举可以消灭它的抛物线 path[x][j] 并更新状态 ：

f[i | path[x][j]] = min(f[i | path[x][j]], f[i] + 1) 。

C++代码

#include 
#include 
#include 
#include 

#define x first
#define y second

using namespace std;

// 使用pair存放点的坐标
typedef pair<double, double> PDD;

const int N = 18 + 5, M = 1 << 18;
const double eps = 1e-8;

int n, m;
PDD p[N];
int f[M];
int path[N][N];

bool cmp(double x, double y)
{
    if (fabs(x - y) < eps) return true;
    return false;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    
    int T;
    cin >> T;
    
    while (T -- )
    {
        cin >> n >> m;
        
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> p[i].x >> p[i].y;
        
        // 多组输入，每次要清零一下path数组
        memset(path, 0, sizeof path);
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
        	// 首先把只有一个猪的情况加进去
            path[i][i] |= 1 << i;
            for (int j = 0; j < n; j ++ )
            {
                double x1 = p[i].x, y1 = p[i].y;
                double x2 = p[j].x, y2 = p[j].y;
                
                // 两个猪的横坐标不能相同，因为切线斜率小于无穷大
                if (cmp(x1, x2)) continue;
                double a = (y1 / x1 - y2 / x2) / (x1 - x2);
                double b = (y1 / x1 - a * x1);
                 
                // 开口向下，a要小于0
                if (a >= 0) continue;
                
                // 计算所有在线上的猪
                for (int k = 0; k < n; k ++ )
                {
                    double x = p[k].x, y = p[k].y;
                    if (cmp(a * x * x + b * x, y)) path[i][j] |= 1 << k;
                }
            }
        }
        
        // 要求最小值，初始化为最大值
        memset(f, 0x3f, sizeof f);
        // f[0]：没有任何一个猪被攻击时，小鸟数量为0
        f[0] = 0;
        // 从小到大循环，保证每一个大的状态是由前面的状态更新的
        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
        {
        	// 找到第一个没有被选中的小猪的编号
            int x = 0;
            for (int j = 0; j < n; j ++ )
            {
                if (i >> j & 1) continue;
                x = j;
                break;
            }
               
       	// 用能攻击到x小猪的抛物线更新f数组
        for (int k = 0; k < n; k ++ )
            f[i | path[x][k]] = min(f[i | path[x][k]], f[i] + 1);
        }
        
        cout << f[(1 << n) - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

参考资料
https://www.acwing.com/solution/content/16261/
https://www.acwing.com/solution/content/4028/