参考题目
AcWing 524. 愤怒的小鸟
Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。
简单来说,这款游戏是在一个平面上进行的。
有一架弹弓位于 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 处,每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟, 小鸟们的飞行轨迹均为形如 y = a x 2 + b x y=ax^2+bx y=ax2+bx 的曲线,其中 a , b a,b a,b 是 Kiana 指定的参数,且必须满足 a < 0 a<0 a<0。
当小鸟落回地面(即 x x x 轴)时,它就会瞬间消失。
在游戏的某个关卡里,平面的第一象限中有 n n n 只绿色的小猪,其中第 i i i 只小猪所在的坐标为 ( x i , y i ) (xi,yi) (xi,yi)。
如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 ( x i , y i ) (xi, yi) (xi, yi),那么第 i 只小猪就会被消灭掉,同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行;
如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 ( x i , y i ) (xi, yi) (xi, yi),那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 i i i 只小猪产生任何影响。
例如,若两只小猪分别位于 ( 1 , 3 ) (1,3) (1,3) 和 ( 3 , 3 ) (3,3) (3,3),Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 y = − x 2 + 4 x y=−x^2+4x y=−x2+4x 的小鸟,这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。
而这个游戏的目的,就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。
这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难,所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令,使得自己能更轻松地完成这个这个游戏。
这些指令将在输入格式中详述。
假设这款游戏一共有 T T T 个关卡,现在 Kiana 想知道,对于每一个关卡,至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。
由于她不会算,所以希望由你告诉她。
状态压缩DP: O ( T ( n 3 + n 2 n ) ) O(T(n^3+n2^n)) O(T(n3+n2n))
抛物线问题
抛物线经过原点,所以 c = 0 c=0 c=0 ,那么只需要两个点就可以确定一条抛物线,下面考虑如何表示这个变量。
path数组
path[i][j]
表示编号为 i
的小猪和编号为 j
的的小猪所在的抛物线,变量的属性表示可消灭的小猪(编号)的二进制表示。
eg:path[2][3] = 10111
表示由 2
号猪和 3
号猪确定的抛物线可以消灭 1, 2, 3, 5
号小猪。
f数组
状态表示: f[i]
表示击败 i
状态下所需要的最少的小鸟数量。
状态计算: 第一步,找到当前 i
状态下没有被消灭的小猪的编号 x
。第二步,枚举可以消灭它的抛物线 path[x][j]
并更新状态 :
f[i | path[x][j]] = min(f[i | path[x][j]], f[i] + 1)
。
#include
#include
#include
#include
#define x first
#define y second
using namespace std;
// 使用pair存放点的坐标
typedef pair<double, double> PDD;
const int N = 18 + 5, M = 1 << 18;
const double eps = 1e-8;
int n, m;
PDD p[N];
int f[M];
int path[N][N];
bool cmp(double x, double y)
{
if (fabs(x - y) < eps) return true;
return false;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int T;
cin >> T;
while (T -- )
{
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> p[i].x >> p[i].y;
// 多组输入,每次要清零一下path数组
memset(path, 0, sizeof path);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
// 首先把只有一个猪的情况加进去
path[i][i] |= 1 << i;
for (int j = 0; j < n; j ++ )
{
double x1 = p[i].x, y1 = p[i].y;
double x2 = p[j].x, y2 = p[j].y;
// 两个猪的横坐标不能相同,因为切线斜率小于无穷大
if (cmp(x1, x2)) continue;
double a = (y1 / x1 - y2 / x2) / (x1 - x2);
double b = (y1 / x1 - a * x1);
// 开口向下,a要小于0
if (a >= 0) continue;
// 计算所有在线上的猪
for (int k = 0; k < n; k ++ )
{
double x = p[k].x, y = p[k].y;
if (cmp(a * x * x + b * x, y)) path[i][j] |= 1 << k;
}
}
}
// 要求最小值,初始化为最大值
memset(f, 0x3f, sizeof f);
// f[0]:没有任何一个猪被攻击时,小鸟数量为0
f[0] = 0;
// 从小到大循环,保证每一个大的状态是由前面的状态更新的
for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
{
// 找到第一个没有被选中的小猪的编号
int x = 0;
for (int j = 0; j < n; j ++ )
{
if (i >> j & 1) continue;
x = j;
break;
}
// 用能攻击到x小猪的抛物线更新f数组
for (int k = 0; k < n; k ++ )
f[i | path[x][k]] = min(f[i | path[x][k]], f[i] + 1);
}
cout << f[(1 << n) - 1] << endl;
}
return 0;
}
参考资料
https://www.acwing.com/solution/content/16261/
https://www.acwing.com/solution/content/4028/