数学欣赏与发现
于国海 编著
第一章 厚重悠远的文化积淀
第一节 从根号2的产生到理发师悖论
一、根号2的产生——第一次数学危机
十大“美丽定理”：根号2是无理数这一定理名列第七，紧随其后的是“Π为超越数”、四色定理、大数学家费马的一个结论
毕达哥拉斯（约公元前580-前500年）
古希腊几何学家欧几里得证明了根号2是无理数
毕大哥拉斯：是“哲学”与“数学”的首创者，前者意为“智力爱好”，后者意为“可以学到的知识”。毕大哥拉斯学派的核心观点是“万物皆数”，即认为宇宙万物都是可以追溯到整数或整数之比。该学派发现了勾股定理，但也因此引发了第一次数学危机。
二、无穷小是否为零——第二次数学危机
牛顿和莱布尼茨创立的微积分都建立在“无穷小”的基础上，但无穷小到底有多小？牛顿推导的时候，会把无穷小当做分母，之后又会把无穷小的数约掉，那无穷小到底是不是零，是零就不能当分母，不是零就不能约掉。这是微积分中不严谨的地方。
1734年，被主观唯心主义哲学的开创者乔治.贝克莱质疑，导致了第二次数学危机的产生。
争论持续到19世纪，100年后法国著名数学家柯西及其后的魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔在实数理论上建立的极限理论为微积分理论奠定了严密的逻辑基础。
三、理发师悖论——第三次数学危机
19世纪下半叶，康托创立了著名的集合论，终于使数学科学大厦平稳起地。
可，英国哲学家伯特兰.罗素提出了一个论断：集合论并非绝对严格，是有瑕疵的。例如理发师要给“不给自己理发的人”理发，那他自己要不要给自己理发？不给自己理发，那就满足条件，那就应该给自己理发。可给自己理发，就不满足条件，那就不该给自己理发。
第二节 从欧几里得到罗巴契夫斯基
一、欧几里得与《几何原本》
《几何原本》是公元前3世纪欧几里得的著作，被誉为“数学的圣经”。
古希腊亚历山大学派前期的三大数学家：欧几里得、阿波罗尼斯、阿基米德
高斯（19世纪）被公认为牛顿以后的“数学家之王”。发现了非欧几何的存在（可证明平行公理），但没提出。
二、罗巴契夫斯基与非欧几何
非欧几何的创建者一般认为是罗巴切夫斯基与波尔约。
罗氏几何与欧式几何的本质区别在于二者的平行公理不同。
菲欧几何还包括黎曼几何。
黎曼为高斯的关门弟子。
德国科学家克莱因对非欧几何做出了统一的解释：把欧式几何称为“抛物几何”，罗氏几何称为“双曲几何”（三角形内角和小于180度），黎曼几何称为“椭圆几何”（三角形内角和大于180度）
康德的唯心论。
非欧几何的发现史实质也是唯物主义和唯心主义在几何学中的一段斗争史。
第三节 从勾股定理到费马猜想
勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，有人称其为“几何学明珠”，也有人称其为“千古第一定理”。
毕达哥拉斯，证明了勾股定理。
中国西周商高证明勾股定理，比西方早五百多年。
一、勾股定理的证明
赵爽证法：
数学界的最高奖——菲尔兹奖
二、勾股定理的代数学研究
关于勾股数的统一表达，一般采用下列公式：
17世纪，费马猜想：
形如x^n+y^n=z^n的方程，当n>2时，找不到一组正整数解。
欧拉证明了n=4、3时，无正整数解。
英国数学家安德鲁.怀尔斯在1995年最终证明了费马猜想。
第四节 从周易八卦到二进制数
莱布尼茨堪称是一位百科全书式学者，发明了微积分，还发明了二进制。
《周易》有言：太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。坤、艮（gen）、坎、巽（xun）、震、离、兑、乾。“断态”用0表示。
第二章 美轮美奂的数林奇葩
第一节 完全数与亲和数
1903年，柯西发表学术报告，2^67-1 = 193707721x761838257287，引起的巨大的轰动，因为他否定了“2^67-1为素数”，同时也否定了“2^66x(2^67-1)为完全数”。否定了梅森猜想。
2^p-1（p为素数）型素数在数论中称为梅森素数。人们找到的大的素数基本都属于梅森素数。
素数也称质数
一、完全数
一个数等于自身全部因数（不包括自身）之和，就是完全数。如6=1+2+3，28也是。（拓展：月球绕地球一周28天。中国古代王朝有六艺：礼、 乐、射、御、书、数，秦始皇以六为国数，天上有二十八星宿。）
“如果2^n-1是一个质数，那么自然数2^(n-1)x(2^n-1)一定是一个完全数 ”。欧几里得证明了该命题，并给出了下面是个完全数。n=2、3、5、7时。
古希腊数学家尼科玛霍斯将自然数划分为完全数、盈数与亏数三类：等于自身所有真因数之和的自然数称为完全数，大于自身所有真因数之和的自然数称为盈数，小于自身所有真因数之和的自然数称为亏数。
偶完全数与梅森素数实质一一对应。
二、亲和数
220的所有真因数之和为284，而284的所有真因数之和为220。毕达哥拉斯将这两数称为“亲和数”或者叫“朋友数”。即两个自然数中任何一个数是另外一个数的真因数之和，则这两个数就是亲和数。
1636年，第二对亲和数17296和18416被费马找到。两年后，笛卡尔找到了第三对亲和数：9437056和9363584。
1747年，欧拉直接列出了61对亲和数，虽然有两对有误。
后来陆续找到了上千对亲和数。
随着电子计算机的诞生，发现100万以下的自然数只有42对亲和数，10万以下的仅有13对。
第二节 梅森素数
梅森素数有无穷多个。
一、纸笔演算时代的艰辛探索
在纸笔演算时代，仅找到12个梅森素数。
二、机器计算时代的重大突破
因特网梅森素数大搜索（GIMPS）项目，于2018年公布第51个梅森素数（2^82589933-1），是迄今为止人类发现的最大的素数。
三、结语
寻找大梅森素数有助于改进传统计算机加密算法。
第三节 水仙花数与卡普列加数
水仙花数：传统名字为“3次回归数”或“自幂数”。153=1^3+5^3+3^3
若一个n位自然数等于各位数字的n次幂之和，则称其为n位n次幂回归数。
桃花数：1634=1^4+6^4+3^4+4^4
有人把它统称为鲜花数或花朵数。
1986年，数学教师安东尼.迪拉那证明了使n位数成为回归数最多只可能是60位数。
二、卡普列加数
把数字劈成两半（如果是奇数位，则高位补0），加起来，再平方，正好是原来的数，这样的数称为“卡普列加数”或“雷劈数”，也叫“分和平方再现数”。这样的数有2025、3025、9801等。
(x+y)^2 = 100x+y
最小的卡普列加数为81（(8+1)^2=81）
第四节 角落里的奇珍异宝
一、最神秘的数字142857
1/7 = 0.142857...
数字142857从1乘到6后出现了数字轮回象限。
二、回文数
从左到右和从又到左读完全一样。
12345678987654321倍称为橄榄数，也是一个完全平方数。
三、自守数
平方的尾数等于该数自身，称这样的数为自守数，例如：25x25=625
四、最倒霉的数13
在东方，13是大吉之数。佛教传入中国宗派为十三宗，代表功德圆满；布达拉宫13层、天宁佛塔13层等。
但在西方国家，大家比较忌讳13这个数。耶稣的弟子犹大出卖耶稣，参加最后晚餐的是13个人，晚餐的日期恰逢13日，13给耶稣带来了苦难和不幸。因此酒店没有13层，飞机场也没有13号登机口。
五、奇特的等幂和
以下两组数的方幂和相等：
从0次方幂和到8次方幂和都相等，但9次方幂，两组数的方幂和相等的现象消失了。
第三章 璀璨靓丽的数学明珠
1900年，数学家希尔伯特提出了著名的23个未解决的数学问题，称“希尔伯特问题”。
2000年，美国克莱数学研究所提出了“七个千禧年数学难题”（悬赏100万美元）。
第一节 唯美数学定理：欧拉公式与巴塞尔级数
一、欧拉公式
二、巴塞尔级数
精确计算所有非零自然数平方的倒数的和。由欧拉论证得到该结果的，以欧拉的家乡瑞士的城市巴塞尔命名。论证用到了麦克劳林级数。
巴塞尔级数的推进产生了黎曼猜想：
该函数的零点，除了s=-2，-4，-6...在复平面上全部分布在s的实部为1/2的直线上。
第二节 宇宙演化密码：黄金分割与斐波那契数列
一、黄金分割
来源于毕达哥拉斯，对于任意给定线段AB，要在其上找一点C，该线段被点C分成长短两条线段，并使较长线段长和全线段长的比值等于较短线段长与较长线段长的比值。该比值为(√5-1)/2，约为0.618。
二、无处不在的黄金分割
北纬30°线贯通四大文明古国。
人类赖以生存的四处关键部位：肚脐、咽喉、膝盖、肘关节是四个黄金分割点。
我们在22~24°C时感觉最舒适，因为人体正常体温37℃与0.618的乘积为22.9℃。
应用于建筑：巴特农神庙、印度泰姬陵、巴黎圣母院、法国埃菲尔铁塔。
达.芬奇的《蒙娜丽莎的微笑》、《威特鲁威人》。
五角星和正五边形。
三、斐波那契数列
向日葵花的花瓣，有的21枚，有的34枚，有的55枚。这些数与斐波那契数列相关：1,1,2,3,8,13,21,34,55....
“兔子繁殖问题”
斐波那契数列与黄金分割存在内在联系，相邻两个斐波那契数列随着序号的增加逐渐接近黄金分割比例。
黄金矩形：新的正方形的边的长度与最近两个正方形的边之和一样。
第三节 东方数学神作：中国剩余定理
“中国剩余定理”（也称孙子定理）是数论的基础性定理，与威尔逊定理、欧拉定理、费马小定理齐名，并称数论四大定理。
来源于孙子算经，即：一个整数除以3余数为2，除以5余数为3，除以7余数为2，求这个整数。（答案是105n+23）
解法：70x2+21x3+15x2-105n
秦九韶的《数书九章》给出了一般表述，“大衍求一术”。
韩信点兵就是类似问题的代表
第四节 数学珠穆朗玛：哥德巴赫猜想
“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠。”
素数（也叫质数）：只能被1和它本身整除的数。
“任何一个大于2的偶数都能表示成两个素数之和。”
哥德巴赫，德国数学家。
二、哥德巴赫猜想的艰辛探索
“缩小包围圈”
1966年，陈景润经过了7年的努力，证明了“1+2”：每一个充分大的偶数都是一个素数加上另外不超过2个素数的积。
本章补遗
一、最美数学公式：
印度数学鬼才拉马努金发现的：
二、“孪生素数猜想”
“孪生素数猜想”：存在无穷多个素数p，使p+2也是素数。
陈景润给出了证明。
三、四色猜想
美国数学家用计算机花了1200个小时，作了100亿次判断，验证了该猜想。
2016年吉林市数学协会于成仁运用数学方法证明出世界三大数学难题之一的“四色定理”。
第四章 数学解题：数学发现之源
第一节 数学解题的内涵、意义与水平
数学解题贯穿于数学学习始终。
等差数列求和公式：
第二节 为发现而解题
一、追求解题方案的多样化
二、追求解题方案的最优化
三、追求问题的生成性思考
第五章 观察与实验：数学发现之门
第一节 数林奇葩——金蝉脱壳
一、金蝉脱壳，至死不变
两组数，和相等，平方和相等。同时抹掉从左到右，或从右到左，性质不变。
两组数的方幂和相等
二、构造等幂和数组
可以从已知数组上生成一个新的数组。
第二节 冰雹游戏
一、角谷静夫系列
如果是偶数，变成m/2，如果是奇数，变成3m+1。重复这样的操作，最后一个数无一例外都是1。
二、“123”系列
任意写一个自然数，写出偶数、奇数与整数的个数，重复这样的操作，最终都是123。
三、“6174”系列
印度数学家卡普列加发现的，写出一个四位数，按从大到小排序得到一个数，按从小到到排序得到另外一个数，两数相减（大数减小数），重复这样操作，最终的一个数都是6174。
第三节 讨论：数学发现中的观察与实验
一、科学观察与科学实验
二、数学观察与数学实验
第六章 归纳与类比：数学发现之匙
第一节 幻方与等幂和问题
“洛书”
洛书中每个小圆圈都可代表一个1，写成数字的形式如下：
这就是三阶幻方，图中的每一行每一列及对角线上的三数之和都是15。
轻松构造任意奇数阶幻方的方法（劳伯尔发明的楼梯法）：
一、内涵丰富的三阶幻方
幻方与等幂和数组存在者某种神秘的内在联系。图6-2的第一列和第三列的平方和相等。
产生新的等幂和数组方法：
二、妙趣横生的四阶幻方
一个知名度较高的四阶幻方是印度太苏神庙石碑上的幻方：
每行每列对角线之和都为34，而且随便画一个正方形，四角上的四个数的和也都为34。更为神奇的是把行（或列）移到另一边上，所得正方向排列仍是一个幻方，如图6-4。
三、魅力无穷的n阶幻方
第二节 四面体体积公式的发现
三角形的公式为
S=(1/2)xaxh
或
S=(1/2)xaxbxsinθ
四面体的体积公式为
V=(1/3)xSxh
那么四面体有没有类似三角形面积公式的第二个表述方法呢？
已知三角形的两条邻边a、b，对边为c，则三角形两条邻边的夹角为：
cosθ = （a^2+b^2-c^2）/2ab
第三节 讨论：数学发现中的归纳与类比
推理被认为数学核心素养的重要元素。
推理一般分为合情推理与演绎推理。许多数学知识的自主构建过程往往是“先猜后证”的过程。“猜”即合情推理，具体表现为归纳、类比等推理方式。“证”即演绎推理，也称论证推理。
一、归纳推理、类比推理与演绎推理
归纳推理是从特殊到一般的推理，归纳一般可以分为不完全归纳和完全归纳。
类比推理是从特殊指向特殊的推理，也称“类推”。
演绎推理是从一般到特殊的推理。
二、数学发现中的归纳推理
一个数学问题一旦与质数关联，就可能成为一个有意义的研究对象。
哥德巴赫猜想：任何一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和。
巴切特的“四方定理”：任何一个自然数，只要用一个、两个、三个或四个的平方数之和来表示。（除了7=4+1+1+1，要用四个平方数之和表示）。
费马质数：
费马是1640年提出该猜想，但在1732年被欧拉给否了，因为n=5的时候不成立。
三、数学发现中的类比推理
第七章 一般化与特殊化：数学发现之魂
第一节 斯坦纳——莱默斯定理
《几何原本》中提到：等腰三角形两底角的平分线长度相等。
莱默斯提出来这条命题的逆命题：有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。
首先回答这个问题的是瑞士的几何学家斯坦纳。
第二节 回平数
任意给定一个自然数，进行如下操作：
（1）先算好它的平方数；
（2）将平方数拆成两部分，得到两个新数；
（3）将拆成的两数相加或相减。
如果得到的结果是一个完全平方数，则称原数为回平数。例如49:49^2=2401-->24+01=25=5^2
如果a位数N是回平数，且10^a-N也是回平数，则称10^a-N是N的对称回平数。例如51和49。
第三节 讨论：数学发现中的一般化与特殊化
“帕斯卡六边形定理”：如果一个六边形内接于一条二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上。
第八章 为发现而教：数学教学的本真回归
第一节 好教育需要好教师
好教师的四个标准：理想信念、道德情操、扎实学识、仁爱之心。
求知欲与探索欲是有本质区别的。求知欲是学习者对知识学习的内在需求，提现的是对前人经验积累的崇拜；探索欲是渴望理解未知世界的内在愿望，提现的则是对未知世界的开拓。
第二节 为发现而教：数学知识教学寻路
误区：知识决定一切，同时也要关注是否理解，要善于思考。
第三节 为发现而教：数学解题教学寻路
附 其他
“理想数论”这一崭新的数学分支得益于费马猜想的探索。
格尼斯堡七桥问题成为图论的源头，梅森素数的研究也推动了计算机技术的革命。
悖论与解悖：（1）芝诺无限悖论；（2）说谎者悖论；（3）关于解悖。
被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想，推导至今未果。
麦克劳林级数：
更多数学家对黎曼猜想似乎更有兴趣。
2是最小的质数（也叫素数），也是唯一的偶质数。
end