【算法详解】二分法（力扣 704.二分查找）

一、什么是二分法？

一句话概括：当需要从一个有序且无重复的数组中根据某一个给出的值找到其所在的下标，就可以用二分法来查找。

使用二分法要注意两个要点：

• 数组有序且无重复
• 只找一个元素

例如[1，2，3，4，5，6]，需要查找3的位置就可以使用二分查找，得到结果为2。

二、经典例题

例题如下：力扣 704.二分查找

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

首先捋一遍解题思路：

• 首先选择数组中最中间的数与需要查找的target进行比较；
  • 如果相等，直接返回；
  • 如果不等
    • 如果大于target，则将左区间边界定义为中间值；
    • 如果小于target，则将右区间边界定义为中间值；

二分法特别容易出错的地方，就是边界选择的问题，下面列举两种二分法的写法，条件要一一对应才能得到正确的结果：

2.1 方式1：左闭右闭

在这种情况下， 我们定义target在一个左闭右闭的区间内，也即[letf, right]。则有：

• while()循环内部的判断条件要是用left <= right，因为left == right是有意义的。
• if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1。

例如上文提到的数组[1，2，3，4，5，6]，我们想找到3的下标，那么方式1就可以这么写：

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
        while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
            int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

时间复杂度：O(log n)
空间复杂度：O(1)

2.2 方式2：左闭右开

在这种情况下，我们定义target在一个左闭右开的区间内，也即[letf, right)。则有：

• while()循环内部的判断条件要是用left < right，因为left == right是没有意义的。
• if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

例如上文提到的数组[1，2，3，4，5，6]，我们想找到3的下标，那么方式2就可以这么写：

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)
        while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
            int middle = left + ((right - left) >> 1);
            if (nums[middle] > target) {
                right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中
            } else if (nums[middle] < target) {
                left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
            } else { // nums[middle] == target
                return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
            }
        }
        // 未找到目标值
        return -1;
    }
};

时间复杂度：O(log n)
空间复杂度：O(1)

三、总结

用好二分查找最关键的地方就是方式一方式二的判断条件和区间处赋值理要一一对应，因为两者是相互联系，相互影响的，所以就需要两者统一，如果两者不统一，就会出现问题。

所以循环条件和赋值问题必须统一，也就是循环不变量。

参考连接：
【二分查找】详细图解
代码随想录-二分查找