儿童探索几何,发现奥秘,成就感自豪感爆棚

江子校长说 | 人性与教育(二十六)


十一、儿童自述(6~12岁)

(13)

小学几何(2)

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长度度量是个一维测量问题,

它的核心有二:

如何确定“基准”(长度单位)?

如何应用几何变换确定最终的结果?

在精确学习之前,

我需要“重温”原初几何学家们已经走过的创造历程——

有一天,我清晰地意识到“长”与“短”的差异,

我尝试用我自带的“身体部件”去测量它,

张开我的大拇指和中指,

我就创造发明了“拃”;

伸展我的两只手臂,

我就创造发明了“庹”;

一前一后自然地迈开我的双脚,

我就创造发明了“步”……

为了部落内部的交流与分享,

我们以部落酋长的部件为“标准”,

在统一“拃”“庹”“步”的基础上,

最终创造出更加客观的“寸”“尺”“丈”;

有了以上的经验,

在遭遇强大的西方文明时,

我不再“手足无措”,

而是主动追问:

你们确定的“基准”是什么?

面对任何一个等待测量长度的对象,

我可以通过“平移变换”,

轻松地知道它与“基准”的关系;

学习了乘法之后,

我还可以通过“伸缩变换”,

把给定的“基准”想象成一根可以自由拉伸的橡皮筋,

从而确定测量对象与基准之间的“倍数关系”(拉伸系数);

结合测量过程中出现的“盈余”或“不足”的现象,

我可以自然而然地“逼出”更大或者更小的“基准”,

结合十进制,我也可以轻松推知不同基准之间的关系;

当然,我的祖先创造的“寸、尺、丈”也不可丢弃,

只需沟通它们与“国标”之间的关系,

所有的文明都可以和谐共存!

接下来就是适当的实践练习,

书桌和卧室的长、宽、高,

操场上的跑道,

从家到学校的距离……

所有这些有趣的活动,

无非都是打着精确测量的幌子,

去进行一场“估测”的游戏,

我很快就能洞悉其中的奥秘——

在实际生活中,“估测”能力显然更有威力;

不过,离开了精确测量的练习,

估测就必定会荒腔走板、毫无意义!

差不多九岁左右,

我就可以理解“面积守恒观念”了,

此时学习二维面积测量就恰逢其时了。

请千万不要让我死记公式,

我已经拥有足够的能力去独立地创造和发明——

我可以迅速确定以下两个核心问题:

选择谁作为新的“面积基准”?

如何运用平移变换或者伸缩变换?

我选择一个单位正方形小木块作为基准,

然后用它们(大小一样的多个小木块)沿着水平方向

覆盖等待测量的长方形(假定为a个),

这个系列动作就相当于将“基准”平移了a次;

再沿着垂直方向完成类似的动作(假定为b个),

显而易见,长方形的“大小”(面积)就等于“a*b”。

如果我把基准想象成一个可以自由伸缩的橡皮泥,

沿着水平方向进行拉伸变换(基准的宽保持不变),

得到拉伸系数为a,

再沿着垂直方向进行拉伸变换(基准的长保持不变),

得到拉伸系数为b,

我同样可以得到长方形的面积为“a*b”.

在发明创造了长方形的面积公式之后,

我就能够以它为“武器”进行更加自由地探索。

将一个长方形沿着对角线对半剪开,

我就可以得到直角三角形的面积为ab;

而通过做一条高就可以将任意一个三角形转化为

两个直角三角形的“和”或者“差”,

从而可以推算出它的面积公式;

对于任意一个平行四边形来说,

既可以沿着对角线分割成两个三角形,

也可以通过割补法拼接成一个等底等高的矩形;

与梯形相遇时,我会更加的自由——

沿着对角线可以分割成两个三角形;

沿着上底的两个端点做下底的垂线,

可以分割成两个直角三角形和一个矩形;

连接上底一个端点和相对一腰的中点,

延长并与下底延长线交于一点,

就可以将梯形转化为一个面积相等的三角形;

不管是哪种方法,总是可以,

化未知为已知,

化“僵化的结论”为理性的逻辑推理;

而且,如果把梯形想象成一个可以自由伸缩的“橡皮泥”,

当把上底“拉伸”到一定程度,

梯形就会变成一个“矩形”,

从而有效沟通梯形与矩形面积公式之间的内在联系;

当把梯形上底“压缩”为“一个点”的极端状态,

梯形就会“变成”一个三角形,

从而有效沟通了梯形与三角形面积公式之间的关系。

现在,我就要更加热烈地发问了:

任意一个多边形的面积可求吗?

与多边形“相对”的圆形的面积可求吗?

很高兴,“答案”又是非常确定的:

完全可以!

从n多边形的一个顶点出发做对角线,

总是可以将其分割成(n-2)个三角形;

作一个圆形的内接正多边形,

随着边数的增加,我发现:

一则“误差”会越来越小,

二则如果以圆心为顶点,

也可以将内接正n变形分割成n个“三角形”,

从而“近似”求出圆形的面积;

随着探索的深入,我还有更加惊人的发现呢——

如果n是很大很大的自然数,

小三角形的底边就可以与圆周“无限重合”,

利用圆的周长公式,

就可以将n个“小曲边三角形”的面积之和求出来,

从而直接“得到”圆的面积公式;

在这次“探险”历程中,

我可以明显感受到我的心跳在加速,

我隐隐约约地感受到“无限分割”

以及“极限思想”在朝我神秘地招手!

大约在十一岁左右的时候,

我已经基于生活经验形成了“体积守恒”的观念,

这表明我为创造发明体积公式做好了充分的准备。

核心问题仍然只有两个——

如何确定基准?

选择怎样的几何变换去度量?

因为三维的长方体可以视作是二维的长方形

在竖直方向上做平移变换时留下的“轨迹”,

所以,具体的度量过程简洁而又清晰;

选定一个单位小正方体为“基准”,

然后可以进行平移变换——

沿着长方体之长的方向平移基准,结果为a;

沿着长方体之宽的方向平移基准,结果为b;

沿着长方体之高的方向平移基准,结果为c;

待测长方体显然就“包含”了“a*b*c”个“基准”;

(当然也可以进行伸缩变换)

如果结合长方体是如何从长方形动态变换而成的过程,

我也可以选择“a*b*1”的长方体为“基准”,

然后沿着竖直向上的方向进行平移或伸缩变换,

从而也可以有效沟通体积与“底面积”和“高”之间的关系。

体积的问题显然要复杂一些,

不过这并不影响探索的乐趣,

圆柱、圆锥,还有球都是非常好玩儿的几何体!

我用矩形、直角三角形和圆形为基础“零件”,

通过各种有意思的旋转变换,

实际操作,再加上一些思想实验,

就可以利用想象力构造出各种“旋转几何体”;

再利用“展开”和“拼接”活动,

也可以有效沟通平面图形与立体图形之间的关系;

在这些丰富的游戏经验的基础上,

我就可以继续展开我的“创造发明”之旅了——

以一个“单位圆形”为“基准”,

利用平移或者拉伸变换,

就可以轻松得到圆柱的体积公式;

圆锥的体积令我颇费周折,

我不得不综合数学和科学双重功力,

先猜想,然后运用科学实验去验证!

而球体就更加“烧脑”了,

我先将球面进行“无穷分割”(近似无限个“小圆形”),

然后以球心为顶点,

以分割之后的球面上的“小圆形”为“曲底面”,

从而将整个球体分割成无限个“曲底面小圆锥”,

再综合球面面积公式和圆锥体积公式,

最后就可以“创造”出球体体积公式啦!

是的,我不得不承认,

语言真是苍白啊,

它根本无法表达出我在探索过程中

所经历的激动人心的喜悦,

以及信心爆棚的成就感与自豪感!

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