一、递归与动态规划

递归，可以让我们更敏锐更准确地抓住问题的要害，给出从形式上讲更简单的解决办法，因此它显得更加高明。然而从效率上来说，貌似复杂的迭代算法往往比递归效率更高。

如何设计一个数据结构算法？

减而治之

问题：计算n个整数之和。

迭代实现：

时间复杂度：O(n)  空间复杂度：O(2)

注：空间复杂度，默认是考量除了输入所需要的空间，实现算法所需要的用于计算的空间总量。因此这里是常数的空间复杂度。

分析上面的代码实现，这段代码的背后蕴含着某种典型算法的规律，如果把输入参数n看作问题的规模，每经过一次迭代，有一个数已经统计完毕，剩余的问题的规模就会递减一个元素，这种，通过逐步蚕食，不断缩减问题规模的策略，也就是减而治之的策略。

减而治之：遇到一个规模大的问题，将它分解为两个子问题，一个问题规模缩减，另一个问题化为平凡的子问题。继续缩减问题的规模，只到化为平凡问题。最后合并结果。

减而治之的递归实现：

时间复杂度：O(n) 

分而治之：遇到一个规模大的问题，将它分解为两个规模相当的子问题，一步步地缩减子问题的规模，直到缩减为平凡问题，再把问题归并起来。这样的一种策略，就是分而治之的策略。

分而治之的递归实现：

分而治之实现版本

分而治之图解

时间复杂度分析

时间复杂度：O(n)

递推关系：

O(n) = 2 * O(n - 1) + 1;  // 计算两个规模大致相等的问题+合并

O(1) = 1;

数组求和的问题过于简单，上述三种实现时间复杂度都为O(n)，无法体现减而治之分而治之的优势。

make it work, make it right, make it fast！

动态规划：通过递归找出算法的本质，并给出一个初步的解之后，再将之转化为等效的迭代的形式。

问题：求斐波那契数列第n项的值。

递归实现

时间复杂度：O(2^n) （实际是1.618...^n）

封底估算：

 φ=(1+根号5) / 2 = 1.618...   

φ^36 = 2^25；

φ^5 = 10;

10^9/s:主流计算机主频计算吞吐量

10^5 = 1 day；

10^10 = 300 year；

斐波那契的第43项：φ^43 = 2^30 = 10^9 = 1s; 能明显感觉到卡顿

斐波那契递归实现低效的根源在于：各递归实例均被大量地重复地调用。

那么，如何让每一项实例只被计算1次？

解决方法A(记忆：memoization)：将已计算过实例的结果制表备查

解决方法B(动态规划：dynamic programming)：颠倒计算方向，由自顶而下递归变为自底而上迭代。

图解

代码实现

利用两个向量，使它们始终指向相邻两阶。

时间复杂度：O(n)，空间复杂度O(2)

总结

递归：设计出可行且正确的解；

动态规划：消除重复计算与，提高效率。