AM@由极限的两个存在准则(定理)推导的两个重要极限

abstract

• 由极限的两个存在准则(定理)推导的两个重要极限

第一重要极限

• 将任意角$x$放在单位圆$O$上讨论$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$

  • 对于$y=\frac{\sin x}{x}$对于一切$x\ne 0$都有定义
  • 设单位圆圆心$O$和任意角$x$的始边重合,始边和终边分别交单位圆于$A,B$

• 因为任意角总是可以通过诱导公式转换为锐角计算其三角函数值,不妨设角$\angle AOB=x(x\in (0,\frac{\pi }{2}))$

• 构造正弦线和正切线以及弧度线:

  • 正弦线:过点$B$作$BC\perp OA$交于$OA$于$C$,则$CB$为正弦线:$\sin x=CB$

  • 正切线:点$A$处的切线和$OB$延长线交于$D$,则AD就是正切线:$\tan x=AD$

  • 由角弧度和半径的关系,$x=\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$

$\sin x<x<\tan x$

• 令$G_1,G_2,G_3$分别表示:三角形$AOB$,扇形$AOB$,三角形$AOD$,并用$S(G_i),i=1,2,3$表示图形$G_i$的面积
• 则$S(G_1)=\frac{1}{2}\sin x$;$S(G_2)=\frac{1}{2}x$;$S(G_3)=\frac{1}{2}\tan x$
• 显然$S(G_1)<S(G_2)<S(G_3)$,从而$\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x$
• 即$\sin x<x<\tan x$(0)

$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$

• 不等号各边同除以$\sin x$,有$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$,从而$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$,$x\in (0,\frac{\pi }{2})$(1)
• $\cos x,\frac{\sin x}{x}$都是偶函数,从而$x\in (-\frac{\pi }{2},0)$内,$-x\in (0,\frac{\pi }{2})$;不等式(1)仍然成立
• 所以$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$,$x\in (-\frac{\pi }{2},0)\cup (0,\frac{\pi }{2})$或$0<|x|<\frac{\pi }{2}$

$\cos x\to 1(x\to 0)$

• $0<|x|<\frac{\pi }{2}$时,$\cos x\in (0,1)$,
• 欲证$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$,可构造$y=\cos x-1$,而证$\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x-1)=0$,或$\underset{x\to 0}{\lim }(1-\cos x)=0$
• 所以$1-\cos x\in (0,1)$
• $0<|1-\cos x|=1-\cos x$=$2{\sin }^2\frac{x}{2}$<$2(\frac{x}{2}{)}^2$=$\frac{x^2}{2}$
• 即$0<1-\cos x<\frac{x^2}{2}$
• 显然$\frac{x^2}{2}\to 0(x\to 0)$,有夹逼准则,$\underset{x\to 0}{\lim }(1-\cos x)=0$,所以$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$
• 又因为$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$,$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=\underset{x\to 0}{\lim }1=1$,所以由夹逼准则,$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$

例

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin x}{x}=1$
  • 令$\arcsin x=t$,从而$x=\sin t$
  • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin x}{x}$=$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\sin t}=1$

第二重要极限

• 设$x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$,则$\{x_n\}$单调有界
• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$=$\frac{n!}{(n-i)!i!}$=$A_n^i/i!$

单调性

• 由二项式定理:

  • $x_n={\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\frac{1}{n^i}$=$x_n={\sum }_{i=0}^n\frac{A_n^i}{i!}\frac{1}{n^i}$

    • =$1+\frac{n}{1}\cdot \frac{1}{n}$+$\frac{n(n-1)}{2!}\frac{1}{n^2}$+$\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\frac{1}{n^3}$+$\cdots$+$\frac{n(n-1)\cdots (n-(n-1))}{n!}\frac{1}{n^n}$
    • =$1+1$+$\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})$+$\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})$+$\cdots$+$\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n})$

  • 则$x_{n+1}$=$1+1$+$\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})$+$\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})$+$\cdots$+$\frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{n-1}{n+1})$

  • $x_n,x_{n+1}$的前2项相等,后续的第$i(i>2)$项$x_{n+1}$的总是要大于$x_n$的,并且$x_{n+1}$的项数比$x_n$的项要多一项大于0的项,所以$x_{n+1}>x_n$;

  • 说明$\{x_n\}$数列是单调递增的

有界性

• 通过放缩$x_n$的展开式中的项确定某个上限
  • $x_n$展开式中$(1-\frac{i}{n})<1$,所以$x_n<T=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}$
  • 又$n!⩾2^{n-1}(n\in \mathbb{N})$,即$\frac{1}{n!}<\frac{1}{2^n}$,($n!>2^{n-1}$,$n\in \mathbb{N},n⩾3$)
  • $T<W=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}$=$1+\frac{1(1-\frac{1}{2^n})}{1-\frac{1}{2}}$=$3-\frac{2}{2^n}$=$3-2^{1-n}<3$

极限存在

• 根据单调有界极限存在定理(准则),$\{x_n\}$极限存在$(n\to \infty )$,这个值是个实数,不容易用十进制数表示
• 通常将这个极限记为$e(e\in (2,3))$,即$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=e$,即$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$

推广到函数极限

• $\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

形式推广

• 上述是$x\to \infty$的过程的极限,利用变量代换,$t=\frac{1}{x}$,即$x=\frac{1}{t}$,$x=\frac{1}{t}\to \infty$过程对应$t\to 0$的过程

• 则$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x$=$\underset{t\to 0}{\lim }(1+t{)}^{\frac{1}{t}}=e$

• 更一般的,在自变量的某个变化过程中$(x\to \ast )$,若$\alpha (x)$是无穷小量,即$\alpha (x)\to 0(x\to \ast )$,则$\underset{x\to \ast }{\lim }(1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha (x)}}=e$,简记为$\lim (1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha (x)}}=e$

$1^{\infty }$型幂指函数的极限

分离常数变形

• 有时,需要使用分离常数的技巧将函数的形式转换为$f(x)=(1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}$的形式,
  • 例如:$(\frac{x+1}{x-3}{)}^x=(\frac{x-3+3+1}{x-3}{)}^x=(1+\frac{4}{x-3}{)}^x$

速算结论

• 如果判断出$f(x)=(1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}$的某个过程的极限属于$1^{\infty }$型的情况下求极限$S=\lim f(x)$,则可以按如下步骤求解

  1. 先计算出$A=\lim (\alpha (x)\beta (x))$

  2. 那么:$S=e^A$,也即是说,结果是$e$的幂的形式

证明

• 设$\alpha (x),\beta (x)$分别极限过程$x\to \ast$的无穷小量和无穷大量,即$\lim \alpha (x)=0$,$\lim \beta (x)=\infty$
• $\gamma (x)=\alpha (x)\beta (x)$;$\beta (x)=\frac{1}{\alpha (x)}\alpha (x)\beta (x)$=$\frac{1}{\alpha (x)}\gamma (x)$
• $S=\lim (1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}$=$\lim (1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha (x)}\alpha (x)\beta (x)}$=$\lim (((1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha (x)}}{)}^{\gamma (x)}$=$[\lim (((1+\alpha (x){)}^{\frac{1}{\alpha (x)}}){]}^{\gamma (x)}$=$e^{\gamma (x)}$
• 记$A=\lim \gamma (x)$,则$S=e^A$

例

• 以下3个的$1^{\infty }$型极限都可以用$e^A$模型法来计算,先确定$\alpha (x)和\beta (x)$

  • $S_1=\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^x$

  • $S_2=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{a}{x}{)}^{bx}$

  • $S_3=\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{a}{x}{)}^{bx+c}$

• 分别计算$A_1,A_2,A_3$

  • $A_1=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-1}{x}x=-1$

  • $A_2=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a}{x}bx=ab$

  • $A_3=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a}{x}(bx+c)=ab$

• $S_1=e^{-1}$,$S_2=e^{ab}$,$S_3=e^{ab}$

传统逐步演算

• $\underset{x\to \infty }{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x$=$\underset{x\to \infty }{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^{-(-x)}$=$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{{(1-\frac{1}{x})}^{-x}}$=$\frac{\underset{x\to \infty }{\lim }1}{\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{x}{)}^{-x}}$=$\frac{1}{e}$

• $\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{a}{x}{)}^{bx}$=$\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^{\frac{x}{a}ab}$=$\underset{x\to \infty }{\lim }$ ${\left({(1+\frac{a}{x})}^{\frac{x}{a}}\right)}^{ab}$=$e^{ab}$

• $\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^{bx+c}$=$\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^{bx}$ $\cdot$ $\underset{x\to \infty }{\lim }{(1+\frac{a}{x})}^c$=$e^{ab}\cdot 1^c$=$e^{ab}\cdot 1$=$e^{ab}$