统计学学习——001从基本知识到二项及泊松分布、大数定律、正态分布

一、统计学学基本概念
01)均值：我们假定有n个数，他们之和为sum，那么均值为$mean=\frac{sum}{n}$
02)中位数:体现的是可以把样本分为上下两部分的一个值，按照大小关系排列好之后，如果n为奇数那么中位数为第$\frac{n+1}{2}$个数值；如果n为偶数那么中位数为$第\frac{n}{2}个和第\frac{n}{2}+1个$数值的平均数。
03）众数：在统计分布上具有明显集中趋势的点的数值。
04）极差：全距(Range)，又称极差，是用来表示统计资料中的变异量数(measures of variation)，其最大值与最小值之间的差距;即最大值减最小值后所得之数据。
05）中程数：极差是在最大最小值基础上相减得到，而中程数是二者的平均值。
06）：常用的统计图有象形统计图、条形图、线形图、饼图、茎叶图、箱线图
不同的图表有不同的侧重点，一般根据具体场景来选择具体图表。
07）样本和总体：研究中实际观测或调查的一部分个体称为样本(sample)，研究对象的全部称为总体。为了使样本能够正确反映总体情况，对总体要有明确的规定;总体内所有观察单位必须是同质的;在抽取样本的过程中，必须遵守随机化原则。
08）总体方差：是一组资料中各数值与其算术平均数之差的平方和的平均数。
09）样本方差：样本方差是指构成样本的随机变量对离散中心 x之离差的平方和除以n-1，样本方差用来表示一列数的变异程度。
10）标准差：标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。
11）随机变量(random variable)：表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。
12）概率密度函数：对于一维实随机变量X，设它的累积分布函数是$F_X(x)$。如果存在可测函数$f_X(x)$满足： X是一个连续型随机变量，并且fX(x)是它的概率。

二、二项及泊松分布
01）二项分布
二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是$$p_{(\xi )}=C_{(n,k)}{p}^k\ast (1-p{)}^{n-k}$$记作ξ~B(n,p)期望:Eξ=np 方差:Dξ=npq
02)泊松分布
泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。概率论中常用的一种离散型概率分布。若随机变量 X 只取非负整数值，取k值的概率为$$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$$则随机变量X 的分布称为泊松分布，记作P(λ)。这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式时提出来的。泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。

三、大数定律和正态分布
01）大数定律
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。 大数定律分为弱大数定律和强大数定律。
单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”
02）正态分布
正态分布（Normal distribution)是一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ^{2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ}2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。遵从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x 轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ^2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
3）中心极限定理
设随机变量序列X1，X2，…Xn，…相互独立，均具有相同的数学期望与方差，且E(Xi)= Ui,D(Xi)=Ri^2>0，i=1,2,…，令:
Yn=X1+X2+…+Xn
Zn=〔Yn-E(Yn)〕/√D(Yn)=∑(Xi-Ui)/√∑Ri^2 (i=1,2…、n)
则称随机变量Zn为随机变量序列X1，X2,…Xn的规范和。
中心极限定理:设从均值为μ、方差为${\sigma }^2$;(有限)的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布。