复变函数基础笔记1
文章目录
- 复数的概念
- 复数的四则运算
- 复数的几何表示
- 复数的指数表示
- 复变函数，极限与连续
- 解析函数
- 复变函数的积分
复数的概念
- 定义方程 x 2 = − 1 x^2=-1 x2=−1的解为 i i i，所以 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1
- 即 i 2 = − 1 , i 4 = 1 i^{2}=-1, i^{4}=1 i2=−1,i4=1。所以有 { i 4 n = 1 i 4 n + 1 = i i 4 n + 2 = − 1 i 4 n + 3 = − i \left\{ \begin{aligned} i^{4n} & = 1 \\ i^{4n+1} & = i \\ i^{4n+2} & = -1 \\ i^{4n+3} & = -i \\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧i4ni4n+1i4n+2i4n+3=1=i=−1=−i
- 复数可以表示为 z = x + i y z=x+iy z=x+iy，可以称 x x x为复数 z z z的实部，记为 R e ( z ) Re(z) Re(z)，称 y y y为 z z z的虚部，记为 I m ( z ) Im(z) Im(z)
Re来自于Real，Im来自于Imaginary
- 复数不可以比较大小
例如，如果i和0可以比较大小，则会出现矛盾《史济怀》-P2定理1.1.2
复数的四则运算
- 加法和减法：实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
- 乘法：类似于多项式乘法，展开相乘即可
除法：需要使用分母有理化《史济怀》-P3
复数的几何表示
- 表示为三角函数-bilibili
已知a,b>0求 r , θ r,\theta r,θ： r = a 2 + b 2 , θ = arctan b a r=\sqrt{a^2+b^2},\theta=\arctan\frac{b}{a} r=a2+b2,θ=arctanab
已知 r , θ r,\theta r,θ求a,b： a = r cos θ , b = r sin θ a=r\cos \theta, b=r\sin\theta a=rcosθ,b=rsinθ - (7)中的 θ \theta θ称为该复数的辐角记为Arg z，当 θ ∈ ( − π , π ) \theta\in(-\pi,\pi) θ∈(−π,π)时，称为该复数的主值arg z。
Arg为辐角，arg为主值——《史济怀》P6，其他教材可能有所不同。
9.当x,y位于不同象限时arg的计算方法-《钟玉泉》P9
复数的指数表示
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欧拉公式 e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin\theta eiθ=cosθ+isinθ
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根据欧拉公式，我们可以将复数从几何表示变化为指数表示： z = r e i θ z=re^{i\theta} z=reiθ
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【题型-复数的三种形式的转换】已知 z = − 12 − 2 i z=-\sqrt{12}-2i z=−12−2i，又已知 z = r ( cos θ + i sin θ ) = r e i θ z=r(\cos \theta+i\sin \theta)=re^{i\theta} z=r(cosθ+isinθ)=reiθ，求 r r r和 θ \theta θ
解： a = − 12 , b = − 2 a=-\sqrt{12},b=-2 a=−12,b=−2，根据第(7)个知识点，可知:
r = ∣ z ∣ = a 2 + b 2 = 4 r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=4 r=∣z∣=a2+b2=4，
θ = arctan ( b / a ) − π = arctan ( 2 / 12 ) − π = arctan ( 1 / 3 ) − π = π 6 − π = − 5 6 π \theta=\arctan(b/a)-\pi=\arctan(2/\sqrt{12})-\pi=\arctan(1/\sqrt{3})-\pi=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5}{6}\pi θ=arctan(b/a)−π=arctan(2/12)−π=arctan(1/3)−π=6π−π=−65π本题的 θ \theta θ在第三象限 θ ∈ ( − π , 0 ) \theta\in(-\pi,0) θ∈(−π,0)，而 arctan \arctan arctan的周期为 π \pi π，亦可从这个角度在获得了 arctan ( b a ) \arctan(\frac{b}{a}) arctan(ab)之后，通过 ± π ±\pi ±π将其调整到 ( − π , π ) (-\pi,\pi) (−π,π)的范围
由此就可以写出 z z z的三角形式和指数形式了
（注）根号的概念： ± 16 = ± 4 ±\sqrt{16}=±4 ±16=±4，而 16 = 4 \sqrt{16}=4 16=4
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基于几何表示简化乘除运算
设 z 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) , z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1),z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
则 z 1 z 2 = r 1 e i θ 1 r 2 e i θ 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 ) = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sin ( θ 1 + θ 2 ) ] z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)] z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2ei(θ1+θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
同理：
z 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 − θ 2 ) + i sin ( θ 1 − θ 2 ) ] \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)] z2z1=r2r1[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]在 z 1 z 2 ⋯ z n z_1 z_2 \cdots z_n z1z2⋯zn的运算中，依旧可以使用这种方法来简化运算（即复数的幂）。
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【题型-复数的三种形式的转换】将 z = sin π 5 + i cos π 5 z=\sin\frac{\pi}{5}+i\cos\frac{\pi}{5} z=sin5π+icos5π转化为三角形式。
解： r = ∣ z ∣ = a 2 + b 2 = 1 r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=1 r=∣z∣=a2+b2=1，
而 θ = arctan b a = arctan cos π 5 sin π 5 \theta=\arctan{\frac{b}{a}}=\arctan\frac{\cos\frac{\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}} θ=arctanab=arctansin5πcos5π很难继续化简。但可以通过公式 { sin ( π 2 − α ) = cos α cos ( π 2 − α ) = sin α \left\{ \begin{aligned} \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos \alpha \\ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alpha \\ \end{aligned} \right. ⎩⎪⎨⎪⎧sin(2π−α)=cosαcos(2π−α)=sinα
将 z z z的实部 sin π 5 = cos ( π 2 − π 5 ) \sin\frac{\pi}{5}=\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}) sin5π=cos(2π−5π)，虚部转化为 cos π 5 = sin ( π 2 − π 5 ) \cos\frac{\pi}{5}=\sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}) cos5π=sin(2π−5π)，这样就转化为了三角形式。这里从定义出发，并使用一种特殊的方法直接转化为了定义的形式。并化简得到“通法”无法化简得到的形式
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基于(13)的结果， 若 z = cos θ + i sin θ z=\cos\theta+i\sin\theta z=cosθ+isinθ，有 z n = cos n θ + i sin n θ z^n=\cos n\theta+i \sin n\theta zn=cosnθ+isinnθ，这被称为棣莫弗公式(di mo fu)。
类似的，若 z = cos θ − i sin θ z=\cos\theta-i\sin\theta z=cosθ−isinθ，则 z = cos ( − θ ) + i sin ( − θ ) z=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta) z=cos(−θ)+isin(−θ)，所以：
z n = cos ( − n θ ) + i sin ( − n θ ) = cos ( n θ ) − i sin ( n θ ) z^n=\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta)=\cos(n\theta)-i\sin(n\theta) zn=cos(−nθ)+isin(−nθ)=cos(nθ)−isin(nθ) -
【题型-复数的幂】计算 ( 12 − 2 i ) 3 (\sqrt{12}-2i)^3 (12−2i)3-link
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复数的根：基于(15)，若设 w = z n = ρ ( cos φ + i sin φ ) w=\sqrt[n]{z}=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi) w=nz=ρ(cosφ+isinφ)，则 w n = ρ n ( cos n φ + i sin n φ ) = z = r ( cos θ + i sin θ ) w^n=\rho^n(\cos n \varphi+i\sin n\varphi)=z=r(\cos\theta+i\sin\theta) wn=ρn(cosnφ+isinnφ)=z=r(cosθ+isinθ)，即 ρ n = r , n φ = θ + 2 k π \rho^n=r,n\varphi=\theta+2k\pi ρn=r,nφ=θ+2kπ，从而解得
{ ρ = r n φ = θ + 2 k π n \left\{ \begin{aligned} \rho&=\sqrt[n]{r} \\ \varphi&=\frac{\theta+2k\pi}{n} \\ \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧ρφ=nr=nθ+2kπ
总结得：
z n = r 1 n ( cos θ + 2 k π n + i sin θ + 2 k π n ) \sqrt[n]{z}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}) nz=rn1(cosnθ+2kπ+isinnθ+2kπ) -
【题型-求复数的根】计算 16 4 \sqrt[4]{16} 416-link，计算 1 + i 4 \sqrt[4]{1+i} 41+i-link
需注意与实数开根号的区别，复数的n次根号一般都会有n个不同解。 -
共轭复数
若 z = a + b i z=a+bi z=a+bi，则 z ˉ = a − b i \bar{z}=a-bi zˉ=a−bi。
且由上述定义可知：
{ a = z + z ˉ 2 b = z − z ˉ 2 i = − i 2 ( z − z ˉ ) z z ˉ = a 2 + b 2 \left\{ \begin{aligned} a&=\frac{z+\bar{z}}{2} \\ b&=\frac{z-\bar{z}}{2i}=-\frac{i}{2}(z-\bar{z}) \\ z\bar{z} & =a^2+b^2 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧abzzˉ=2z+zˉ=2iz−zˉ=−2i(z−zˉ)=a2+b2
复变函数，极限与连续
- 复变函数：若E是复数域上的几何，存在一个对应法则 f f f使得对于每一个复数 z ∈ E z \in E z∈E，都存在唯一的复数 w w w与之对应，则称这样的对应法则 f f f为复变函数，且 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)。
- 一个复变函数 f ( z ) f(z) f(z)可以被两个二元实函数所刻画。若 z = a + i b , f ( z ) = w = u + i v z=a+ib, f(z)=w=u+iv z=a+ib,f(z)=w=u+iv，则 f ( z ) = f ( x + i y ) = u ( x , y ) + v ( x , y ) i f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+v(x,y)i f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+v(x,y)i。
- 【题型：计算复变函数】已知 f ( z ) = z 3 f(z)=z^3 f(z)=z3，计算 f ( i ) , f ( 1 + i ) f(i),f(1+i) f(i),f(1+i)
很简单，使用乘法法则进行运算即可，或者使用几何表示来简化计算也可以。
- 【题型：计算复变函数极限】 lim z → 1 + i z ˉ z \lim\limits_{z\to1+i}\dfrac{\bar{z}}{z} z→1+ilimzzˉ
设 z = x + i y z=x+iy z=x+iy，由于 z → 1 + i z\to 1+i z→1+i，所以 ( x , y ) → ( 1 , i ) (x,y)\to(1,i) (x,y)→(1,i)
所以 lim z → 1 + i z ˉ z = lim ( x , y ) → ( 1 , 1 ) x − i y x + i y \lim\limits_{z\to1+i}\dfrac{\bar{z}}{z}=\lim\limits_{(x,y)\to(1,1)}\dfrac{x-iy}{x+iy} z→1+ilimzzˉ=(x,y)→(1,1)limx+iyx−iy问题转化为二元实函数极限问题
上下同乘 ( x − i y ) (x-iy) (x−iy)，可以带入值进行计算可以写成更简单的格式，因为 z ˉ z \frac{\bar{z}}{z} zzˉ在(1+i)是连续的(分母不为零)，所以可以直接代值计算 1 − i 1 + i \frac{1-i}{1+i} 1+i1−i即可。
- 【题型：计算复变函数极限】 lim z → 1 z z ˉ + 2 z − z ˉ − 2 z 2 − 1 \lim\limits_{z\to 1}\dfrac{z\bar{z}+2z-\bar{z}-2}{z^2-1} z→1limz2−1zzˉ+2z−zˉ−2-link
- 【题型：计算复变函数极限】 lim z → 0 R e ( z ) z \lim\limits_{z\to 0}\dfrac{Re(z)}{z} z→0limzRe(z)-link
- 【题型：画复平面区域】画出 ∣ z − 1 ∣ > 4 |z-1|>4 ∣z−1∣>4在复平面上的图形-link
解析函数
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某一点 z 0 z_0 z0导数的定义：如果极限 lim z → z 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 \lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} z→z0limz−z0f(z)−f(z0)存在，则该极限 f ′ ( z 0 ) f'(z_0) f′(z0)为 f ( z ) f(z) f(z)在点 z 0 z_0 z0的导数。
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某一点 z 0 z_0 z0解析的定义：如果 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0的一个领域内处处可导，那么称 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0解析。
显然，若 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0解析，则一定在 z 0 z_0 z0可导。但是可导不一定解析。
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【反例：可导一定连续，但连续不一定可导】 f ( z ) = z ˉ f(z)=\bar{z} f(z)=zˉ在 0 0 0点连续但不可导 - link
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【必考知识点：解析的充要条件：柯西黎曼方程】-《钟玉泉习题解析》P32 定理2.2： f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 D D D解析的充要条件：
（1） u ( x , y ) , v ( x , y ) u(x,y),v(x,y) u(x,y),v(x,y)在 D D D可微，
（2）满足CR方程即： ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} ∂x∂u=∂y∂v∂y∂u=−∂x∂v -
【题型：判断可导和解析的区域】
（1）判断 f ( z ) = 2 x y 2 + i x 2 y f(z)=2xy^2+ix^2y f(z)=2xy2+ix2y在何处可导，在何处解析？-link求偏导的关键在于将其中一个变量视为常量，对另一个元素求导数。
（2）判断 f ( z ) = 2 x 3 + i 3 y 3 f(z)=2x^3+i3y^3 f(z)=2x3+i3y3的可导和解析的区域-link
（3）判断 f ( z ) = m y 3 + n x 2 y + i ( l x 3 − 3 x y 2 ) f(z)=my^3+nx^2y+i(lx^3-3xy^2) f(z)=my3+nx2y+i(lx3−3xy2)的可导和解析的区域-link
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调和函数：函数存在偏导，且在定义域上，偏导的平方求和为零
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【题型：已知函数解析，推理函数形式】-link
复变函数的积分
- 复变函数的积分如何快速理解？
可参考这里进行理解，主要抓住（1）有方向，（2）分段光滑 - [问]复变函数积分如何计算？
[答1]可以将 f ( z ) f(z) f(z)写成 u ( x , y + i v ( x , y ) ) u(x,y+iv(x,y)) u(x,y+iv(x,y))的形式，然后转化为第二型曲线积分机型计算，具体公式为：
∫ c u ( x , y ) + i v ( x , y ) d z = ∫ c u d x − v d y + i ∫ c v d x + u d y \int_c u(x,y)+iv(x,y)dz=\int_c udx-vdy+i\int_cvdx+udy ∫cu(x,y)+iv(x,y)dz=∫cudx−vdy+i∫cvdx+udy
[答2]或者使用参数方式，将 ∫ c f ( z ) d z \int_cf(z)dz ∫cf(z)dz中的C使用t进行表示，可以化为
∫ c f ( z ) d z = ∫ α β f ( z ( t ) ) z ′ ( t ) d t \int_cf(z)dz=\int_\alpha^\beta f(z(t))z'(t)dt ∫cf(z)dz=∫αβf(z(t))z′(t)dt - 【题型-计算积分】 ∫ c 1 z d z \int_c\frac{1}{\sqrt{z}}dz ∫cz1dz
（1）c为起点为1，终点为-1的 单位圆周的上半部分-link - 【题型-计算积分】 ∫ c R e ( z ) d z \int_c Re(z) dz ∫cRe(z)dz其中C是从 0 0 0到 1 + i 1+i 1+i的线段
- 复变函数的积分结果与积分路径有关。